以二次函数为背景的试题对学生的阅读能力、计算能力、理解能力、思维能力有较高的要求，能够全面考查综合各种知识解决问题的能力，所以常受命题者的青睐.
涉及到的知识点包括：函数的解析式、相关点的坐标、函数的最值、研究函数的图象和函数的性质等，涉及方程、函数、不等式、坐标和解直角三角形等应用.
解题难点在于，善于运用转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等，认识条件和结论之间的关系，明确图形的几何特征与数式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法.
总的来说，二次函数小题属于知识点较为固定但丰富，实战题型千变万化，非常考验同学们的综合能力，想拿分，对题目的感觉是必不可少的，所以比较建议多刷题.
【2023年永州中考模拟26题】抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．
（1）求此抛物线解析式；
（2）如图，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
文字版参考答案
方法总结：
解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，
第一步寻找分类标准，
第二步列方程，
第三步解方程并验根．
一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．
解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．
如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便。
方法点评:一线三角构造相似的方法.容易理解,画图是关键.当然,容易漏解,常常是没有将两种情况合并,只考虑了一种情况.
方法点评:斜率乘积为-1时,两直线垂直.若没有额外学习此知识,是没办法用上此方法的.所以,同学们需要掌握此知识才行.
方法点评:这种方法非常直接,将问题直接转化为方程问题,关键在于解方程,计算量可能很多时候会很大,同学们对此类方法需要一定的耐心.
总评:上述三种方法,同学们都可以重点去掌握.在不同的题型背景下,同学们可以灵活选择,当然,可能三种方法都适用,但难易程度不一样.同学们可以多做练习,熟悉上述方法.
经典例题
【2017年永州中考25题】
如图，已知抛物线
经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）阅读理解：
解决问题：
①若直线y=3x-1与直线y=mx+2互相垂直，求m的值；
②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值．
文字版解析
方法总结
典型例题分析
01
等腰直角三角形存在性问题
【问题探究：等腰直角形】
因为△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，可证△RHQ≌△QGP。
往外构全等，过点Q作x轴的平行线GH，过点R作R⊥GH，垂足为H，垂足为H，过点P作PG⊥GH，垂足为G，因为△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，可证△RHQ≌△QGP。
往内构全等，
典型例题解析
01
2022年永州中考二模26题
【2022年永州中考二模26题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中点A坐标为(3，0),B点坐标为(-1,0)，连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒根号2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值；
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使三角形MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
02
文字版参考答案
03
方法总结
一、 典型题型
【2022年永州中考一模25题】抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．
二
、文字版参考答案
扩展延伸
此类问题方法应用
01
相似三角形按边分类型
2021年普陀区模考24题
2021年普陀区模考24题是以二次函数为背景的题目，其中在第（2）题的第②小问以二次函数的平移为背景考察了相似三角形的存在性问题
解法分析：本题的第一问比较简单，根据顶点B（2，-1），可以列出算式解决本题
解法分析：本题的第（2）问的第①小问，由OC=OA即可求出C点的坐标，而D点是直线AC和抛物线的交点坐标
解法分析：本题由AP // BD，即可得出∠PAD=∠BAD=∠BCQ，由于4条夹边都是已知或者可以求出来的所以就采用按边分类的讨论方法；
02
相似三角形按角分类型
2021年松江区模考25题
2021年松江区模考25题主要是以等腰三角形为背景，主要在第（3）考察了相似三角形的存在性问题，对于25题的相似三角形分类讨论一般都会考察“按角分类”的方法。
解法分析：本题第（1）问主要考察了“等腰三角形三线合一”辅助线的做法，添加好辅助线解直角三角形即可解决。
解法分析：本题的第（2）问，想解出线段AD的长度，可以过C点做CM // AB，利用AD-F-CM“X模型”即可解决本题。
解法分析：本题的第（3）问，在△DQF和△ABC中已知∠DQF=∠C，且夹这两个角的四条边中有边是求不出来的，所以只能采用“按角分类”的方法解决。
方法总结：
I、一般都能确定未知三角形和已知三角形存在两个相等的角
①分两种情况说明求证即可：未知的三角形剩下的两个角中与已知三角形其中一个角相等，一般多可借助角度的tan值相等来求解；
②分两种情况：确定对应相等的这个角的两边与已知角的两边对应成比例.
II、有时构建说明两个角度相等时，除了借助对应角相等、角度tan值相等，也可借助等腰三角形等边对等角来说明.
说明：在相似三角形的求证中，务必要有意识的去发现和找寻其中比较特殊角的存在，这往往是解题关键点.在求解过程重视因式分解的应用，有时会将比值问题转化更简单的算式来进行计算，从而提升解题速度、正确率与效率.
问题描述
在平面直角坐标系中，已知A(1,1)、B(7,3)、C(4,7)，求△ABC的面积．
方法总结
铅垂高法的几种常见图形：
二次函数压轴之面积问题
面积问题涵盖的题型
1.面积最值问题
2.面积倍分关系问题
3.面积比例及最值问题
经典题解析与方法分析
抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，点B（3，0），与y轴交于点C，直线y＝kx-3，经过点B，C．
(1)求抛物线的解析式
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求PBC面积最大时点P的坐标；
分析：坐标系背景下的面积问题，主要涉及的方法是面积的求解方法，一般是铅垂法、割补法、平移法，一般铅垂法是通用方法，在解决一些复杂问题时非常实用.
方法简介：铅垂法，一般是求解三角形面积时，找到水平宽和与之对应的铅垂高，其乘积的一增即为三角形的面积.
方法一：铅垂法
点评：设点，再分别求水平宽和铅垂高的表达式，从而得到三角形面积的表达式，通过二次函数的性质求得取最值时的P点坐标
方法二:平移法
点评：通过平移至临界位置，面积即可求最值，思路与前面比较新颖，且解决方法比较快捷；
方法三：割补法
点评：割补法思考起来难度不大，但是计算需要一定的耐心，对同学们的计算能力有一定的要求。
二次函数是中考压轴题之一，也是很多同学头疼的一道题，原因有很多，比如题型变化无常，计算量大，与几何图形结合等等。今天我们将通过真题的方式让大家掌握二次函数铅锤高法~
【2019年永州中考24题】
如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
文字版参考答案
【2020年永州中考25题】
在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示，求△CMN面积的最小值．
文字版参考答案
方法总结
【铅垂高法---铅垂高不变水平宽改变的面积最小值的求解】
一、 中点坐标公式的应用
如图1：C为线段AB的中点.
若已知A（x1,y1）、B（x2，y2）
可得
进一步延伸到平行四边形当中
如图2：在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点M
由平行四边形对角线互相平分可知M既是AC中点也是BD中点
若已知A（xA,yA）、B（xB，yB）、C（xC,yC）、D（xD，yD）
从而建立起了平行四边形四个顶点坐标之间的关系，进一步建立方程进行求解。
02
题型讲解
【2022年怀化中考】如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴
解得a=-1， c=3
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，可得y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则
∴k=-1 b=3，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵PF∥AB，
∴∠PFE＝∠OBC＝45°，
∵PE⊥BC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，
∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC
（3）存在．
理由：如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．
当BC为平行四边形的边时，则有|1﹣m|＝3，
解得m＝﹣2或4，
∴G（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），
当BC为平行四边形的对角线时，二分之一（1+m）＝二分之一（0+3），
∴m＝2，
∴G（2，3），
综上所述，满足条件的点G的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）或（2，3）．
方法小结：
第一步：表示出四个点的坐标，定点直接给出，动点根据所在图形设点
第二步：进行边和对角线的分类讨论
第三步：边的讨论利用点相对位置的横纵坐标之差建立方程；对角线利用中点坐标公式建立方程
第四步：求解方程得出点的坐标（注意所求值是否符合对应的取值范围）
回顾二次函数中平行四边形的存在性问题，我们可以发现，通过点的平移和中点坐标关系我们的目标是构建方程模型，通过数形结合的方式把图象具体化，进一步构建方程模型，函数的研究离不开图象的直观呈现，同学们在函数学习当中要充分利用图象构建所需的数学关系。
解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有：
1. 直线与圆的位置关系：
平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有：
(1)利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题
（2)利用勾股定理解决问题
（3) 利用相似列出比例式解决问题
2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟
3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”.
一、例题展示
（2）思路：对于不平行于坐标轴的三角形的面积，一般有两种做法：
①思路一：铅垂高×水平宽
②思路二：面积割补法
△ABC的面积可由四边形OACB的面积减去三角形AOB的面积得到
③思路三：平行线法
④思路四：三角函数法
变式训练：
（3）思路：转化思想
本题属于两动一定求线段和最小值问题，应采取转化的思想，变为两定一动，再依据两点之间线段最短求出答案
二、真题在线
【2018年永州中考25题】
如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．
三、真题解析
四、方法总结
【周长最值问题】
解题思路：
（1）“以定制动”，根据题目的需求，将要求的图形周长用线段表示出来，分析哪些是定值，哪些线段是变化的，最终通过求出变动线段的最值问题，解决图形的周长变化问题；
（2）建立函数模型，将图形周长转化为二次函数，再根据二次函数的最值问题，求图形的周长最值，要注意自变量的取值范围.
I、通过轴对称或者将军饮马模型求周长最值
领取方式
心动不如行动
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