中考数学 专题06 一次二次方程(原卷版)(解析版)-备战2024年中考数学真题题源解密(全国通用)

本文《专题06 一次二次方程（原卷版）（解析版）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）》是《备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）》系列中的专题。会对每个专题从知识目标、中考解密、考点回归、重点考向和最新真题荟萃多个方面进行分析。同时每个专题都有原卷版和解析版，资源展示的都是解析版，如果需要原卷版和全部题源word版本，可以按文末方式获取。建议可以在中考复习中使用。

专题06  一次二次方程

目录一览

1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；

2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；    

3.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；

4.能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．

本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右，预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题型，为避免丢分,学生应扎实掌握。

►考向一 一元二次方程的解

1．（2023•绵阳）若x＝3是关于x的一元二次方程的一个根，下面对a的值估计正确的是（　　）

A．＜a＜1       B．1＜a＜       C．＜a＜2       D．2＜a＜

2．（2023•枣庄）若x＝3是关于x的方程ax²﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 　          ．

3．（2023•株洲）已知实数m、x满足：（mx₁﹣2）（mx₂﹣2）＝4．

①若，则x₂＝　              　；

②若m、x₁、x₂为正整数，则符合条件的有序实数对（x_1，x2）有 　       　个．

►考向二  解一元二次方程-直接开平方法

4．（2022•台湾）已知一元二次方程式（x﹣2）²＝3的两根为a、b，且a＞b，求2a+b之值为何？（　　）

A．9       B．﹣3       C．6+       D．﹣6+

5．（2020•扬州）方程（x+1）²＝9的根是　                         ．

►考向三  解一元二次方程-配方法

6．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程x²﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　）    

A．（x+6）²＝28       B．（x﹣6）²＝28       C．（x+3）²＝1       D．（x﹣3）²＝1

7．（2022•无锡）（1）解方程：x²+6x﹣1＝0；

（2）解不等式组：．

8．（2022•徐州）（1）解方程：x²﹣2x﹣1＝0；

（2）解不等式组：．

►考向四  解一元二次方程-公式法

9．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式3x²﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（　　）

A．       B．       C．       D．

10．（2022•东营）一元二次方程x²+4x﹣8＝0的解是（　　）

A．x₁＝2+2₂＝2﹣2       B．x₁＝2+2₂＝2﹣2      

C．x₁＝﹣2+2₂＝﹣2﹣2       D．x₁＝﹣2+2₂＝﹣2﹣2

►考向五  解一元二次方程-因式分解法

11．（2022•包头）若x_1，x2是方程x²﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x₁•x₂²的值为（　　）

A．3或﹣9       B．﹣3或9       C．3或﹣6       D．﹣3或6

12．（2022•云南）方程2x²+1＝3x的解为 　                           

13．（2022•贵阳）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．

用“＜”或“＞”填空：a 　          　b，ab               　0；

（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．

①x²+2x﹣1＝0；②x²﹣3x＝0；③x²﹣4x＝4；④x²﹣4＝0．

►考向六  配方法的应用

14．（2023•连云港）若W＝5x²﹣4xy+y²﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 　              　．

15．（2022•乐山）已知m²+n²+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝　         　．

►考向七  根的判别式

16．（2023•眉山）关于x的一元二次方程x²﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

A．       B．m＞3       C．m≤3       D．m＜3

17．（2023•鞍山）若关于x的一元二次方程x²+3x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是       

18．（2023•扬州）若关于x的一元二次方程x²+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为　

►考向八  根与系数的关系

19．（2023•锦州）若关于x的一元二次方程kx²﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＜       B．k≤       C．k＜且k≠0       D．k≤且k≠0    

20．（2023•岳阳）已知关于x的一元二次方程x²+2mx+m²﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x₁、x₂，且x₁+x₂+x₁•x₂＝2，则实数m＝                    　．

21．（2023•南充）已知关于x的一元二次方程x²﹣（2m﹣1）x﹣3m²+m＝0．

（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；

（2）若x_1，x2是方程的两个实数根，且+＝﹣，求m的值．

►考向九  一元二次方程的应用

22．（2023•重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为

23．（2023•牡丹江）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是             ．

24．（2023•东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．

（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m²的羊圈？

（2）羊圈的面积能达到650m²吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．

1．（2023•赤峰）用配方法解方程x²﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　）

A．（x+2）²＝3       B．（x+2）²＝17       C．（x﹣2）²＝5       D．（x﹣2）²＝17

2．（2023•福建）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　）

A．43903.89（1+x）＝53109.85      

B．43903.89（1+x）²＝53109.85      

C．43903.89x²＝53109.85      

D．43903.89（1+x²）＝53109.85

3．（2023•广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　）

A．3.2（1﹣x）²＝3.7       B．3.2（1+x）²＝3.7      

C．3.7（1﹣x）²＝3.2       D．3.7（1+x）²＝3.2

4．（2023•黑龙江）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m²，则小路的宽是（　　）

A．5m       B．70m       C．5m或70m       D．10m

5．（2023•镇江）若x＝1是关于x的一元二次方程x²+mx﹣6＝0的一个根，则m＝　     　．

6．（2023•宁夏）方程x²﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　              　．

7．（2023•邵阳）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为 　1000（1+x）²＝1440　．    

8．（2023•巴中）（1）计算：|3﹣|+（）^﹣1﹣4sin60°+（）²．

（2）求不等式组的解集．

（3）先化简，再求值（+x﹣1）÷，其中x的值是方程x²﹣2x﹣3＝0的根．

9．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）²＝（3x+2）²．

10．（2023•无锡）（1）解方程：2x²+x﹣2＝0；

（2）解不等式组：．

11．（2023•青海）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：

（1）解不等式组：；

（2）当m取（1）的一个整数解时，解方程x²﹣2x﹣m＝0．

12．（2023•齐齐哈尔）解方程：x²﹣3x+2＝0．

13．（2023•盐城）课堂上，老师提出了下面的问题：

已知3a＞b＞0，M＝＝，试比较M与N的大小．

小华：整式的大小比较可采用“作差法”．

老师：比较x²+1与2x﹣1的大小．

小华：∵（x²+1）﹣（2x﹣1）＝x²+1﹣2x+1＝（x﹣1）²+1＞0，

∴x²+1＞2x﹣1．

老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？

…

（1）请用“作差法”完成老师提出的问题．

（2）比较大小： 　＜　．（填“＞”“＝”或“＜”）

14．（2023•湖北）已知关于x的一元二次方程x²﹣（2m+1）x+m²+m＝0．

（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；

（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．

15．（2023•通辽）阅读材料：

材料1：关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x_1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x₁+x₂＝﹣₁x₂＝．

材料2：已知一元二次方程x²﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m²n+mn²的值．

解：∵m，n是一元二次方程x²﹣x﹣1＝0的两个实数根，

∴m+n＝1，mn＝﹣1．

则 m²n+mn²＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

（1）应用：一元二次方程2x²+3x﹣1＝0的两个实数根为x_1，x2，则x₁+x₂＝　﹣　，x₁x₂＝　﹣　．

（2）类比：已知一元二次方程2x²+3x﹣1＝0 的两个实数根为m，n，求m²+n²的值；

（3）提升：已知实数s，t满足2s²+3s﹣1＝0，2t²+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．

16．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．

（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；

（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？