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1667期 米勒圆最大视角：从金华一模压轴到高考与模考
这篇素材选自浙江金华十校27届高三一模第14题（原卷及标答可以参看《27考前百卷039 | 新颖难度大！金华十校一模全卷多解解析》）。一道填空题，把“最大张角”“动点轨迹”“恰有三个公共点”串在了一起。计算并不长，但漏掉一段线段、忘记最大值能不能取到，答案背后的逻辑就断了。小派借这道题，和大家一起认识它身后的几何模型——米勒圆最大视角问题。
（小派好久没有更过带有背景讲解和题目归纳的长文了，昨天空看到这题目就想归纳一下，但是由于时间比较仓促，文中不少图片没有来得及优化，也可能存在不少错漏之处，欢迎老师同学们在留言区指正）
一、原题及不同方法解析 1、每条竖线上，都要寻找最大角 2、方法一：向量与基本不等式，完整求出轨迹 3、方法二：正切差角公式，直接看出“平衡高度” 4、方法三：米勒圆，把最大角变成相切 5、最后一步：三个公共点，为什么迫使圆经过原点？ 6、题目评析：熟悉知识的重新组合 二、介绍米勒圆最大角与米勒定理 1、从“站在哪里看得最清楚”说起 2、米勒定理：切点就是最佳观察点 3、最常用的垂直模型 4、使用前，先检查这三件事 三、与米勒圆相关的高考题 1、2007浙江卷：最大张角点的轨迹，正是金华题的前半程 2、2010江苏理科T17：仰角差，也可以转成最大张角 3、2022全国甲卷理科T20：先把倾斜角差画出来 四、与米勒圆相关的模考题 1、学军中学期末：双曲线离心率 2、2023深圳二模：两条射门线路分别找切点 3、华南师大附中等四校联考：室内足球的最佳射门位置 4、椭圆焦点与斜直线：用相似三角形求距离比 5、抛物线上的动点：不能直接套直线版本 6、椭圆顶点处的切线：最大角反求离心率 7、双曲线与斜直线：切割线定理再次出现 8、2022南昌一模：动点沿圆运动时，先证半径下界 9、补充拓展：2022清华能力诊断题，从相交条件求最小圆
一、原题及不同方法解析
1、每条竖线上，都要寻找最大角
【浙江金华十校27届高三一模T14】（关注：Hi数学派）已知 ， 为平面直角坐标系中两定点， 为动直线 上的一点，且满足对于任意点 ，。记点 形成的轨迹为曲线 。若圆心在 轴上的圆与曲线 有且仅有三个公共点，则该圆的半径为________。
注意： 题中比较的是有定义的角，故 或 时不参与比较。
固定 ，在这一条竖线上找最佳观察点；再让 变化，把所有最佳点收集起来。这正是轨迹 的含义。
2、方法一：向量与基本不等式，完整求出轨迹
设 ，记 。
当 时： 取 ，两条射线反向，，已经是最大角。因此，开线段 必须计入轨迹。
当 时： 有
故非零张角为锐角；（关注：Hi数学派）由向量的行列式绝对值为 ，得到
当 时，基本不等式给出
所以
等号当且仅当 成立。由于正切函数在 上递增，角的最大值也在这两点取到。 时张角为零，不影响结论。
当 时： 对 ，
不断减小 就能让角更大，但极限 取不到； 又是角无定义的点。因此这两条竖线上没有最大值点。
综上，完整轨迹为
不是只有双曲线，也不能把双曲线的两个顶点补进去。
3、方法二：正切差角公式，直接看出“平衡高度”
只需研究 且 的情形，其余外侧情形由对称性得到。令 ，记
则 ，且
（关注：Hi数学派）所以
等号当且仅当 。它告诉我们：观察点太低或太高都不合适，最佳位置恰是分母两项相等的位置。结合上一方法对 、 的讨论，即得完整轨迹。
4、方法三：米勒圆，把最大角变成相切
仍先研究 。过 、 的圆，圆心必在 轴上。设圆心 ，半径为 ，则
圆经过竖线 上的点，必须满足 。又因为此时张角为锐角，由正弦定理
最大角对应最小外接圆半径。 最小可能半径是 ，恰在圆与竖线相切时取到。切点与圆心等高，于是
这就是本题的米勒圆结构。向左侧对称，再补上开线段 、排除 ，仍得到同一个 。
提醒： 这里能由“半径最小”推出“角最大”，是因为外侧竖线上的张角为锐角。不能不检查角的范围，就在任意图形中套用这句话。
5、最后一步：三个公共点，为什么迫使圆经过原点？
设所求圆心为 ，半径为 。
圆与 都关于 轴对称，所以不在 轴上的公共点总成对出现。若恰有三个公共点，其中必有一个位于 轴上；而 在 轴上只有 。
因此圆过原点，，圆方程为
它与开线段 只有公共点 。再将双曲线方程 代入，得
每个不同实根均不为零，（关注：Hi数学派）且对应双曲线上两个点
要使总数为三个，就要这个二次方程恰有一个不同实根，即
于是
取上方圆时，三个公共点为
另解：交点高度成对。 由对称性，只看圆心在上方的圆。设双曲线交点高度为 ，则
从而
若 ，方程 有两个不同正根，每个高度产生两个交点，加上 一共五个；若 ，只有高度 ，一共三个；若 ，只有 。这也验证了答案的充分性。
6、题目评析：熟悉知识的重新组合
这道题以最大张角为入口，把三角函数、向量、基本不等式、轨迹与圆锥曲线交点计数组合在一起，命制亮点在于“先求最优点的集合，再研究集合与圆的关系”。米勒圆能解释相切的几何本质，常规代数方法也能完整作答；真正拉开差距的是分类讨论是否周全、能否区分最大值与上确界，以及是否想到用对称性处理奇数个公共点。对同学而言，值得带走的不是一个孤立结论，而是先看角的范围，再求最值；先求完整轨迹，再数公共点。
二、介绍米勒圆最大角与米勒定理
1、从“站在哪里看得最清楚”说起
观察同一段物体，距离越近，张角就一定越大吗？若物体下端高于眼睛，走得过近，视线反而接近竖直，两端方向的差异会缩小；离得太远，张角同样很小。中间存在一个最佳观察位置，这就是通常所说的米勒最大视角问题。
它的平面几何表述是：两个定点在一条直线同侧，动点沿这条直线移动，怎样让它对两定点的张角最大？ 核心构造是过两定点作圆，使圆与动点所在直线相切。
2、米勒定理：切点就是最佳观察点
【米勒定理：射线形式】（关注：Hi数学派）在非退化角 中，、 是射线 上不同于 的两个定点， 是射线 上不同于 的动点。当且仅当 的外接圆与直线 相切于 时， 最大。
用高中三角函数证明。 设 ，，，，
取 为横轴，则 。设 ，由点积与行列式可得
（关注：Hi数学派）由基本不等式
等号当且仅当 。由于 在 上严格递减，所以 此时最大。
另一方面，对过 、、 的圆，点 的幂为 。当 时，直线 与圆的交点在 处重合，故为切线。于是
这个证明也避免了“圆外角比圆周角小”使用时容易遗漏的相对位置问题。
3、最常用的垂直模型
设 ，，，其中 ，观察点 ，。则
最佳水平距离为
足球射门、观察高处标牌、从直线上的点观察椭圆两焦点，往往只是这个模型的不同包装。
4、使用前，先检查这三件事
第一，定点与动线的位置。 两定点在动线同侧时，切圆模型最直接；如果动线穿过两定点之间，可能直接出现平角，正如金华题中的开线段 。
第二，动点范围。 定理给出的最佳点必须落在允许的射线或线段上；若不在，要比较端点或研究边界。
第三，最大化的究竟是什么。 最大角、最大正弦、最大正切并非永远等价。还要区分动线与曲线：把米勒圆推广到圆或抛物线时，必须另证最值，不能只凭“相切的图看起来最好”。
三、与米勒圆相关的高考题
1、2007浙江卷：最大张角点的轨迹，正是金华题的前半程
【2007浙江卷】（关注：Hi数学派）已知椭圆中心在原点，焦点 、 在 轴上，长轴 长为 ，左准线与 轴交于 ，且 。
（1） 求椭圆方程；
（2） 若直线 ，， 为其上动点，使 最大的点记为 ，求 的坐标。
解析：
（1） 设半长轴为 、半短轴为 、半焦距为 ，则
代入 ，得到 。由 ，取 ，进而 。
（2）（关注：Hi数学派）过两焦点的圆心在 轴上，设为 。最大角时圆与 相切，半径为 ，故
（关注：Hi数学派）因此
联系金华题： 把这里的 扩展到所有实数，并补全边界分类，就得到金华题中的整条轨迹。
2、2010江苏理科T17：仰角差，也可以转成最大张角
【2010江苏理科T17】（关注：Hi数学派）某兴趣小组测量电视塔 的高度 （单位：米）。地面上依次有 、、 三点，竖直标杆 高 米，、、 共线，仰角 ，。
（1） 已测得 ，，求 ；
（2） 若塔高为 米，调整标杆到塔的距离 ，问 为多少时 最大。
解析：
（1） 由 、、 共线，
两式相减，得到 ，故 ，
（2）（关注：Hi数学派）此时
由 ，等号对应角差最大。因此
米勒圆怎么看？ 在 点观察竖直线段 ，。以 、 为定点，让 在高为 米的水平线上移动。过 、 的切圆在 处相切，切线与竖直线段所在直线的交点到 、 的距离分别为 、，切割线定理仍给出 。
3、2022全国甲卷理科T20：先把倾斜角差画出来
【2022全国甲卷理科T20】（关注：Hi数学派）设抛物线 （）的焦点为 ，点 ，过 的直线交 于 、 两点。当直线 轴时，。
（1） 求 的方程；
（2） 设直线 、 与 的另一个交点分别为 、，记直线 、 的倾斜角分别为 、，当 取得最大值时，求直线 的方程。
解析：
（1） 竖直时 。由抛物线定义
得到 ，故
（2）（关注：Hi数学派）设 、 的纵坐标分别为 、。焦点弦性质给出 。直线 经过 ，联立抛物线可得，它的两个交点纵坐标之积为 ，所以
由于抛物线上纵坐标为 、 的弦斜率为 ，故非竖直时
又 ，由弦方程
可知 经过定点 。
令 。若 ，两条直线的倾斜角均在第二象限，且 ，角差为负；两弦竖直时角差为零。要取得正的最大值，只需考虑 ，此时
等号当且仅当 ，于是
与米勒圆的联系： 正斜率时，、 的交点位于直线 上，倾斜角差就是从该点观察 、 的张角。最佳观察点对应过 、 且与 相切的圆；切点为 ，取对应正角差的一侧，仍得上述直线方程。
四、与米勒圆相关的模考题
1、学军中学期末：双曲线离心率
【浙江学军中学25届高三期末T14】（关注微信公众号：Hi数学派）已知双曲线 （，） 的左顶点为 ， 是双曲线 的右焦点，点 在直线 上，且 的最大值是 ，则双曲线 的离心率是()
解析：
法1，正切差角公式： 设直线 与 轴交于点 ，设点 ，（取 ），则
所以
则
（关注：Hi数学派）即
解得 或 （ 舍去）
故选
法2，夹角公式： 设点 ，（取 ），则
所以
下面同 法1.
注： 有关夹角公式可以参考小派之前的推文《1243期 新教材中不讲的夹角与到角公式》
法3，米勒定理：
由米勒定理可知，当 的外接圆与直线 相切时，即点 是直线 与 外接圆的切点时， 最大。
如图 1，（关注：Hi数学派）可求 的外接圆外接圆半径为
在 中由正弦定理可得
解得
2、2023深圳二模：两条射门线路分别找切点
【2023深圳二模】（关注：Hi数学派）球场底线 码，球门 码且位于底线正中。点 满足 ，。从 沿 或 带球，使 最大，分别应带球多少码？
解析： 取 、、，则 、。
沿 时，切割线定理给出
故第一条线路的带球距离为
沿 时，（关注：Hi数学派）从 看，、，同理
由于 ，第二条线路带球距离为
两个切点均在线段范围内，答案均能取到。
3、华南师大附中等四校联考：室内足球的最佳射门位置
【华南师大附中、广东省实验中学、广雅中学、深圳中学2022届高三四校联考T7】（关注：Hi数学派）矩形球场 中， 米， 米，球门 米且位于边 正中。运动员在边 上的点 处射门，为使 最大，求 （精确到米）。
解析： 因为球门居中，，。过 、 的圆与 相切于最佳点 ，所以
于是
最佳点在边 内，精确到米为
这就是第二部分垂直模型的直接应用：将两定点高度取为 、 即可。
4、椭圆焦点与斜直线：用相似三角形求距离比
【典例1】（关注：Hi数学派）椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在直线 上。当 最大时，求 。
解析：、。设动线与 轴交于 。两焦点在动线同侧，最佳点是过两焦点的圆与动线的切点，故
由弦切角定理得到相似三角形，进而
5、抛物线上的动点：不能直接套直线版本
【典例2】（关注：Hi数学派）已知点 为抛物线 上的动点，、，求 的最大值。
解析： 设 。由
可知张角不超过直角；当 时，
对 ，有
因此 ，等号当且仅当 。故
在 处，三角形外接圆为 ，与抛物线相切。这里的相切是已经证明的最值所呈现出的几何结构，不能仅凭相切就省略全局最值论证。
6、椭圆顶点处的切线：最大角反求离心率
【典例3】（关注：Hi数学派）椭圆 （）的左、右焦点分别为 、。直线 过左顶点且与椭圆相切，点 。若 的最大值为 ，求离心率。
解析：。过两焦点的米勒圆与 相切时，圆心在 轴上、半径为 ；由 ，切点为 。
由正弦定理
因此
另解：（关注：Hi数学派）最大角时 ，故 ，结合 ，也得 。
7、双曲线与斜直线：切割线定理再次出现
【典例4】（关注：Hi数学派）双曲线 的左、右焦点为 、，点 在直线 上。当 最大时，求 。
解析： 两焦点为 、，动线与 轴交于 。两焦点在直线同侧。最佳点是切圆切点，由切割线定理
所以 。再由弦切角所确定的相似关系，
辨析： 原素材中这一题的距离比结论写成了 ，与其左、右焦点的标号不符；按本题标号应为 ，不能照搬倒数。
8、2022南昌一模：动点沿圆运动时，先证半径下界
【2022南昌一模】（关注：Hi数学派）已知点 、，点 为圆 上的动点，求 的最大值。
解析： 当 在 轴上时，张角为零。其余情况下，设 的外接圆圆心为 ，半径
由三角形不等式
（关注：Hi数学派）得到
右边随 严格递增。等号成立时两圆内切，解得
由正弦定理 ，故
9、补充拓展：2022清华能力诊断题，从相交条件求最小圆
【2022年9月清华大学中学生标准学术能力诊断性测试】（关注：Hi数学派）平面内 、，点 在直线 上，圆 过 、、 三点，求圆面积的最小值。
解析： 圆心为 ，半径满足
圆能够与直线 相交，必须且只需圆心到直线的距离不大于半径：
（关注：Hi数学派）整理得
即 或 。故 的最小值为 ，于是
这道题与米勒圆共享“过两个定点的圆与动线相切”的边界结构，但求的是面积，直接比较半径最稳妥。
读完这些题，再回看金华第14题：最大张角给出切圆，切圆给出轨迹，完整轨迹再决定交点数。 一条解题链，把看似分散的知识连成了整体。
