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高考导数小压轴命题的源泉—琴生不等式
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高考导数小压轴命题的源泉—琴生不等式之前说过，2526年新一卷的函数压轴大题，越来越需要数学分析的语言来理解题意，并且用分析的思维来解决那个“看起来不像导数题的题”。实际上数学分析才是正规数学，以前的那些花式杂耍技艺大招妙法，才是与数学能力关系不大的过时问题。 今天给大家介绍一下，选填压轴小题的灵魂源泉，琴生不等式。高中，只要求你知道是增还是减，也就是一阶导数。而不问你如何增如何减，也就是二阶导数，函数是上凸还是下凸。这实际上是函数的凸性问题。指数，对数，幂函数，各自凸性如何，我们说熟知的数学问题，实际上背后都是函数凸性的不同维数的表达，这也是大多数函数小压轴的命题来源。 这是琴生不等式的本尊，以及一个完整的证明。下面开始构建方法体系库，用我自己发明并使用过的“以点带面连成串”的方法，扩展联系同类数学问题，并且总结归类升华并提炼探究出破解新题的能力。 利用琴生不等式推导广义均值不等式，实际上是探究了对数函数的凸性。取特殊值，就得到了著名的均值不等式，以及高考小压轴常客杨氏不等式。 接下来，继续利用琴生不等式，推导出赫尔德不等式，这个证明方法，来自吉米多维奇，本身也依然精彩且蕴含着丰富的数学变形技术。当然，取特殊值时，发现柯西不等式竟然是赫尔德不等式的特殊情况。 上图中，继续用赫尔德不等式，推导出闵可夫斯基不等式，取特殊值，就是n维欧几里得空间的三角不等式了。 接下来，给出大家两个高考最后一题压轴的最后一问，可以用琴生不等式秒出。 最后，我想说一下，函数导数问题最重要的思维方法是什么？我们高中学了很多函数的性质，但是因为没有学习伊布斯隆德尔塔语言，所以没有学习严格的极限和连续性的定义，所以就没有认识到左右极限以及判断趋势的极端重要性。高考中的函数问题，归根到底是图像问题，导数问题，归根到底是盲猜图像的工具。所以我们在解决函数导数小压轴问题时，一定善于时刻从图像上思考问题，先猜图画图判断图像形态和特殊点，以及变化趋势，而不要被一些五花八门的大招原理所误导，上来就导，导完就推，推来推去越推越乱时间就流逝了，后面的151617就没有从容环境了。 以下给出几个例子，大多数都是26年10最新的各地调研考试的小压轴。最后一个是26年3月武汉三调14题。
