【河南省郸城一高考题】
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，平面 平面 ，平面 平面 ，点 是棱 的中点，点 是棱 上的一点（不包含端点）。
(1) 求证： 平面 ；
(2) 若 ，且平面 与平面 的夹角的余弦值为 。
(i) 求三棱锥 的体积；
(ii) 记平面 交 于点 ，点 在平面 内，求直线 与平面 所成的角的正弦值的取值范围。
(1) 因为底面 是边长为 的正方形，所以 因为平面 平面 ，
平面 平面 ,
平面，
所以 平面，
又因为 平面 ，所以
因为平面 平面 ，平面 平面 , 平面，
所以 平面 ，又因为 平面 ，所以
又因为 , 平面，所以 平面
(2)(i) 由 (1) 知 平面 ，
又 平面 ，
所以 又 ，则以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示空间直角坐标系。
可得所以设则设平面 的法向量为 ，则 即 取，解得 则因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量。
因为平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，
所以 解得 或 （舍去），所以所以三棱锥 的体积(ii) 设 则由 (i) 可知 为平面 的一个法向量，所以
所以 解得
所以因为 在平面 内，所以所以设平面 的一个法向量为 则 即 取 得 则 设直线 与平面 所成的角为 ，
则因为所以 即直线 与平面 所成的角的正弦值的取值范围为
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四季读书网
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