每日中考数学题 | 第006期:每天一道题,不多不少,中考零距离

四季读书网 2026-11-02 21:13:47 15 0

阶段：初一上册

题源：2024山东威海中考真题

知识点：有理数（绝对值、数轴、动点问题）

题目：

我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离 AB=∣a−b∣AB=∣a−b∣。特别的，当 a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a−0。当a<0 时，表示数a 的点与原点的距离等于0−a。

在数轴上，动点A 从表示−3 的点出发，以 1 个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动。同时，动点B 从表示12 的点出发，以2 个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动。

(1) 经过多长时间，点 A，B 之间的距离等于 3 个单位长度？

(2) 求点A，B 到原点距离之和的最小值。

答案：

(1) 经过 4 秒或 6 秒。

(2) 最小值为 3。

本题，你做对了吗？

解析

解题思路：

本题考查数轴上的动点问题、绝对值与一元一次方程的应用。

第(1)问利用“路程=速度×时间”表示出运动后两点对应的数，再根据两点距离公式列绝对值方程求解；

第(2)问先表示出两点到原点的距离之和的代数式，再通过分类讨论去掉绝对值，求其最小值。

本题关键步骤：

设未知数并表示坐标：设经过 x 秒。点 A 从−3 出发向右运动，速度为 1，故其坐标为−3+x；点B 从 12 出发向左运动，速度为 2，故其坐标为 12−2x。

第(1)问列方程：

根据距离公式，AB=∣(12−2x)−(−3+x)∣=∣15−3x∣。

令∣15−3x∣=3，解得15−3x=3 或15−3x=−3，

分别得到 x=4 或 x=6。

第(2)问表示距离和：

点A 到原点距离为∣−3+x∣，点B 到原点距离为∣12−2x∣，距离之和 S=∣−3+x∣+∣12−2x∣。

分类讨论求最小值：

当x<3 时，S=(3−x)+(12−2x)=15−3x>6；

当3≤x≤6 时，S=(x−3)+(12−2x)=9−x，

此时 S 随 x 增大而减小，范围是 3≤S≤6；

当x>6 时，S=(x−3)+(2x−12)=3x−15>3。

综上，S 的最小值为 3（在x=6 时取得）。

易错点：

1、忽略点 B 的运动方向，将坐标误写为 12+2x，导致方程列错；

2、解绝对值方程时漏解，只考虑了15−3x=3 而忽略了 15−3x=−3 的情况；

3、第(2)问不会用分类讨论处理双绝对值，或者分类区间划分错误（如误以为分界点是x=3 和x=12）。

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文章来源：四季读书网