初一复习|苏科版 4.1 等式与方程(一):等式

四季读书网 2026-11-02 11:28:32 5 0

上一章我们一直在跟"式子"打交道：合并同类项、去括号、算值。可那些式子都是"半边"的，没有等号。

从这一节起，式子里要出现一个"＝"。

📏 两条平行线，怎么就成了"相等"

托盘天平，两边托盘保持水平

1557 年，英国数学家雷科德写了一本书。书里第一次用两条平行线"＝"表示相等。

他给的理由很朴素：世界上没有两样东西，能比两条平行线更相等了。 一样长，处处一样宽，永远不会靠近，也永远不会分开。

还有一个更实在的原因——他嫌"等于"两个字一遍一遍地写太麻烦。用两条线代替，省事。

四百多年过去，这个符号留了下来，成了数学里最常见的一个记号。

那什么叫等式？

📌 要点

等式表示相等关系的式子，叫作等式。 判断一个式子是不是等式，只看一条：有没有"＝"。

课本举了三个例子：

天平左边 2 袋食盐，每袋 x g；右边 3 袋白糖，每袋 y g，天平平衡：2x ＝ 3y 长方形的长、宽分别是 x、y，面积是 S：S ＝ xy 12 支铅笔和 3 本笔记本共 58 元，铅笔每支 a 元，笔记本每本 b 元：12a ＋ 3b ＝ 58

三个生活情境，写出三个等式：2x=3y、S=xy、12a+3b=58

三个式子长得完全不一样，说的却是同一件事：左边这个量，和右边这个量，一样大。

⚠️ 易错点

等式和代数式，不是一回事。2x ＋ 3y 是代数式，它只是一个"值"，还没跟谁比较。2x ＋ 3y ＝ 10 才是等式，多了一个"＝"，也就多了一句判断。

🧮 列等式：先找等量关系

从生活里"翻译"出一个等式，分两步：

第一步：找等量关系——谁和谁一样多？ 第二步：写出来——用数、字母、运算符号和"＝"，把这个关系写成式子。

✍️ 练一练

根据下列情境中的等量关系列出一个等式：（1）某高铁列车以 v km/h 的平均速度行驶 0.5 h，行驶的路程为 150 km；（2）一张正方形纸片被分割成四部分；（3）按盐和水的质量之比为 1∶10 的配比，把 x g 盐配成 550 g 的盐水。

例1：三个情境，先找等量关系，再写等式

（1）高铁。

等量关系是"速度×时间＝路程"。速度是 v，时间是 0.5，路程是 150：

0.5v ＝ 150

复兴号高铁在桥上行驶

（2）正方形纸片。

大正方形的边长是 a＋b，面积就是 (a＋b)²。

它被横竖各切一刀，分成四块：a²、ab、ab、b²。四块拼起来，还是原来那个大正方形。

等量关系：大正方形的面积＝四块面积之和 (a ＋ b)² ＝ a² ＋ 2ab ＋ b²

（3）配盐水。

盐 x g。水是盐的 10 倍，也就是 10x g。两样合起来，是 550 g 盐水。

等量关系：盐的质量＋水的质量＝盐水的质量 x ＋ 10x ＝ 550

💡 小提示

列等式的关键，不在算，在"找"。先把题里那句"谁等于谁"用中文说清楚，再一个量一个量地换成字母。中文说通了，式子就出来了。

⚖️ 天平不会说谎

等式有两条基本性质。课本不是直接给的，而是先让你玩天平。

天平左边放着 2 个小球和 1 个 1 g 的砝码，右边放着 5 个 1 g 的砝码，天平正好平衡。

设每个小球 x g：

2x ＋ 1 ＝ 5

第一步：两边都拿走 1 g。

左边剩 2 个小球，右边剩 4 个 1 g 砝码：

2x ＝ 4

第二步：两边都平均分成 2 份。

左边 1 个小球，右边 2 g：

x ＝ 2

一个小球就是 2 g。

天平两边同时减 1、同时除以 2，平衡一直没破

图 4-3 换一种：左边 3 个小球，右边 1 个小球加 6 g 砝码。

3y ＝ y ＋ 6

两边都拿走 1 个小球：

2y ＝ 6

两边都平均分成 2 份：

y ＝ 3

天平为什么一直平？ 因为两边做的是同样的事：拿走一样重的东西，或者把两边的质量同时缩成原来的几分之一。只动一边，天平立刻就歪。

把这件事写成数学，就是等式的两条基本性质：

📌 要点

等式的基本性质性质 1：等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式。性质 2：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为 0），所得结果仍是等式。

用字母表示：

如果 a ＝ b，那么 a ± m ＝ b ± m；如果 a ＝ b，那么 am ＝ bm；如果 a ＝ b，且 m ≠ 0，那么 a/m ＝ b/m。

等式的基本性质：加减同一个数或整式，乘除同一个不为0的数

⚠️ 易错点

性质 2 里藏着一个条件：除数不能为 0。 0 不能作除数，不是"规定得严"，是真没办法。任何数乘 0 都得 0，你没法从"0×？＝0"里问出"？"到底是多少。

✏️ 例 2：把等式变成 x ＝ c

✍️ 练一练

利用等式的基本性质，将下面的等式变形为 x ＝ c（c 为常数）的形式：（1）x ＋ 5 ＝ 2；（2）−2x ＝ 4；（3）6x ＝ x ＋ 5。

"变形为 x ＝ c"的意思是：左边只剩一个 x，右边只剩一个数。

（1）x ＋ 5 ＝ 2

左边多了个＋5，就两边都减去 5：

x ＋ 5 − 5 ＝ 2 − 5 x ＝ −3

（2）−2x ＝ 4

x 前面的 −2 是乘上去的，就两边都除以 −2：

−2x ÷ (−2) ＝ 4 ÷ (−2) x ＝ −2

（3）6x ＝ x ＋ 5

这个要两步。先两边都减去 x，把 x 都挪到左边：

6x − x ＝ x ＋ 5 − x 5x ＝ 5

再两边都除以 5：

x ＝ 1

例2：每一步都写清"两边同时做了什么"

💡 小提示

每写一步，都在心里问一句："两边同时做了什么？" 加了几、减了几、乘了几、除以几——这一步想清楚，依据就写在旁边。答题时要写"根据等式的基本性质 1（或 2）"。

🚀 思维提升

一、小明错在哪

✍️ 练一练

小明是这样变形的： x − 4 ＝ 3x − 4 x − 4 ＋ 4 ＝ 3x − 4 ＋ 4　① x ＝ 3x　② 1 ＝ 3　③ （1）步骤①的依据是什么？（2）小明从哪一步开始错？错在哪？

第①步的依据是性质 1：两边都加上 4。

问题出在 ② → ③。小明想让左边只剩 1，就两边都除以 x。

可是 ② 式 x ＝ 3x 已经能看出 x ＝ 0。除以 0，性质 2 根本不成立。

⚠️ 易错点

字母做除数，先问一句：它会不会是 0？这道题里 x 正好等于 0，一除就除出了"1 ＝ 3"这种荒唐结果。

正确做法是两边都减去 3x：

x − 3x ＝ 0 −2x ＝ 0 x ＝ 0

二、五句判断

✍️ 练一练

判断下列结论是否正确：（1）若 a ＝ b，则 a ＋ 2c ＝ b ＋ 2c；（2）若 a ＝ b，则 2ac ＝ 2bc；（3）若 a ＝ b，则 a/c ＝ b/c；（4）若 ac ＝ bc，则 a ＝ b；（5）若 a(c² ＋ 1) ＝ b(c² ＋ 1)，则 a ＝ b。

一句一句看。

（1）对。 两边都加上 2c，2c 是一个数，性质 1 允许。

（2）对。 两边都乘 2c，2c 也是一个数，性质 2 允许。

（3）错。 c 可能是 0。c ＝ 0 时，a/c 和 b/c 都没有意义。要成立，得补一句"c ≠ 0"。

（4）错。 c ＝ 0 时，ac ＝ bc 变成 0 ＝ 0，不管 a、b 是多少都成立。比如 a ＝ 1，b ＝ 2，c ＝ 0：1×0 ＝ 2×0，可 1 并不等于 2。

（5）对。 c² 是非负数，所以 c² ＋ 1 ≥ 1 ＞ 0，永远不会等于 0。两边可以放心除以 c² ＋ 1。

💡 小提示

这五句其实只考一件事：除以的那个东西，会不会是 0。 会，就不能除；不会（比如 c² ＋ 1），就能除。

三、等式还能怎么用

等式还有两个基本事实：

（1）等式两边可以交换：如果 a ＝ b，那么 b ＝ a。（2）相等关系可以传递：如果 a ＝ b，b ＝ c，那么 a ＝ c。

第一条好理解：天平左边和右边一样重，那右边和左边也一样重。

第二条像接力：a 和 b 一样，b 和 c 一样，那 a 和 c 当然一样。

💡 小提示

"传递"这条，后面列等式、代换的时候会反复用到。看到一个量既等于甲、又等于乙，就可以让甲和乙相等。

⚠️ 六个易错点

把代数式当成等式。3＋8 只是算式，没有"＝"；3＋8＝11 才是等式。判断标准只有一个：有没有等号。
只变一边。 说好两边都减 5，就真的一边也不能漏。只动一边，天平立刻歪。
"同一个"变成"随便一个"。 左边减 5，右边也必须减 5；左边乘 −2，右边也必须乘 −2。数不一样，等式就不成立了。
除以 0。 性质 2 括号里那句"除数不能为 0"不是摆设。字母作除数，先想它能不能等于 0——小明那道题就栽在这里。
运算用反。 x＋5＝2，x 旁边是"＋5"，就两边减 5；−2x＝4，x 旁边是"×(−2)"，就两边除以 −2。看 x 旁边是什么运算，就用它的逆运算。
变形没走完。 变成 x＝c，意思是左边只有一个 x，右边只有一个数。左边还留着"5x"，或者右边还留着"x"，都不算完。