初三中考高频:二次函数最值问题

二次函数最值，是初三月考、期中、期末乃至中考的高频考点。很多同学公式背得滚瓜烂熟，一到题里就错：要么忘了看区间，要么分类漏情况，要么实际应用不写取值范围。

其实，二次函数最值并不难，核心就一句话：

先看开口，再找对称轴，最后看区间。

10月提前把这三步吃透，后面复习会轻松很多。

一、基础结论：顶点最值先记牢

二次函数一般式：

对称轴：

顶点坐标：

配方后：

顶点为 (h,k)。

• 当 a > 0，开口向上，顶点处取最小值；

• 当 a < 0，开口向下，顶点处取最大值。

但注意：如果题目限定了区间，顶点不一定在区间内！ 这就是区间最值最容易丢分的地方。

二、区间最值四步法

遇到“求二次函数在给定区间上的最值”，按下面四步走：

1. 定开口：看 a > 0 还是 a < 0；

2. 求对称轴：算 ；

3. 判位置：看对称轴在区间左边、区间内，还是区间右边；

4. 代值比较：顶点在区间内，就比较顶点和端点；顶点不在区间内，最值通常在离对称轴较近或较远的端点。

记一句口诀：

轴在区间内，顶点要参与；轴在区间外，端点来比较。

三、中考常见题型一：定函数、定区间

例1 求二次函数y = x²−4x+3在区间 [0,3] 上的最大值和最小值。

对称轴：

因为 2∈[0,3]，所以最小值在顶点处：

再比较端点：

所以：

答案：最小值 −1，最大值 3。

易错提醒：不要只算顶点就结束，最大值还要比较两个端点。

四、中考常见题型二：含参数分类讨论

例2 已知 y=x²−2ax+3，求它在区间 [0,2] 上的最小值。

对称轴：

开口向上，最小值要看对称轴 x=a 与区间 [0,2] 的位置关系。

情况1：a < 0

对称轴在区间左侧，函数在 [0,2] 上递增，最小值在左端点：

情况2：0 ≤ a ≤ 2

对称轴在区间内，最小值在顶点：

情况3：a > 2

对称轴在区间右侧，函数在 [0,2] 上递减，最小值在右端点：

所以：

方法总结：含参最值题，抓住“对称轴等于区间端点”这两个临界位置，把区间分成左、中、右三类，分类就不容易漏。

五、中考常见题型三：实际应用最值

实际应用题最怕两件事：不会列函数关系式，忘了自变量取值范围。

例3 某商品进价40元/件，售价为 x 元/件，销量为 100−2(x−60) 件，且 60 ≤ x ≤ 110。求售价定为多少时利润最大，最大利润是多少？

利润：

化简：

对称轴：

因为 75∈[60,110]，开口向下，所以最大值在顶点处：

答：售价定为75元/件时，利润最大，最大利润为2450元。

易错提醒：实际应用题一定要写清取值范围，并检查顶点是否在范围内。若顶点不在范围内，要根据增减性取端点。

六、最值题易错清单

1. 只看顶点，不看区间：顶点不在区间内，不能直接用顶点最值。

2. 忘记比较端点：区间最值往往要比较顶点和端点。

3. 含参分类漏边界：对称轴等于端点时，要归入哪一类要写清楚。

4. 开口方向看反：a > 0 顶点是最小值，a < 0 顶点是最大值。

5. 实际应用不写范围：售价、长度、数量都有实际限制。

6. 答题不完整：最后要写“当 x = ⋯ 时，取得最大/最小值 ⋯ ”。

七、10月吃透计划

建议每天花15—20分钟：

• 1道区间最值题：画数轴，标出对称轴和区间；

• 1道实际应用题：先写函数关系式，再写取值范围；

• 错题只记一句话：错在“开口、对称轴、区间、范围”哪一步。

坚持一个月，二次函数最值题就能从“凭感觉”变成“按步骤拿分”。

最后自测

1. 求 y = −x²+2x+3 在 [0,3] 上的最大值和最小值。

2. 求 y = x²−2ax+1 在 [1,3] 上的最小值。

参考答案：

1. 对称轴 x = 1，开口向下，最大值 f(1) = 4；端点 f(0) = 3,f(3) = 0，最小值 0。

2. 对称轴 x = a。当 a < 1，最小值 f(1) = 2−2a；当 1 ≤ a ≤ 3，最小值 f(a) = 1−a²；当 a> 3，最小值 f(3) = 10−6a。

二次函数最值，不是刷题越多越好，而是每一步都按“开口—对称轴—区间—范围”走稳。10月提前吃透，中考多拿10分！