2027 中考数学 · 压轴题每日一题 ---第 10 题先转个身,再拉直

四季读书网 2026-10-30 10:42:23 8 0

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★ 2027 中考数学 · 压轴题每日一题 ★第 10 题　先转个身，再拉直

铅锤线段最值＋平移求解析式＋等角定坐标＋旋转取中再投影

九年级｜建议用时 45 分钟｜难度 ★★★★★

一道题四个问，看着像四个人出的。

第一问求解析式，常规开局；第二问求一段竖线最长；第三问把抛物线挪个地方，再找一个角相等的点；第四问最绕——先把 OM 转 90°，再取中点，再过中点作垂线，最后求两段线段的和的最小值。

可你把四个问摆在一起，会发现它们在做同一件事：把「会动的东西」变成「不动的东西」。

PE 会动，可它的长度是个二次函数，配方之后就定了；Q 会动，可「等角」把它锁在了两条射线上；N 会动，可「旋转再取中点」把它的轨迹压成了一条直线；F 会动，可「过定点作定直线的垂线」让 NF 变成一段定长的平移。

四个「会动」，最后都变成了「不动」。这就是压轴题的脾气：动点本身不可怕，可怕的是你没找到它的规矩。

一原题呈现

交点式铅锤法单位向量等角两解旋转 90°中点公式将军饮马对称点

【2026 · 齐齐哈尔】综合与探究如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ 4（a ＜ 0）与 x 轴交于点 A（−2，0）、B（4，0），与 y 轴交于点 C，作直线 AC、BC。点 P 为第一象限内抛物线上的动点，过点 P 作 PD ⊥ x 轴，垂足为 D，PD 交直线 BC 于点 E。（1）求抛物线的解析式；（2）求 PE 的最大值及 PE 最大时点 P 的坐标；（3）如图 2，若将抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ 4 沿射线 AC 方向平移 √5 个单位长度，得到新抛物线。点 Q 为新抛物线上一点，且 ∠CBQ ＝ ∠ACB，则点 Q 的坐标为＿＿＿；（4）当 PE 最大时，作直线 OE。若点 M 为直线 BC 上的一个动点，连接 OM，将线段 OM 绕点 O 顺时针旋转 90° 得到 OM′，取 OM′ 的中点 N，过点 N 作 NF ⊥ OE，垂足为 F，连接 AN、PF，则 AN ＋ PF 的最小值为＿＿＿。

图 1　抛物线过 A（−2，0）、B（4，0），与 y 轴交于 C（0，4）；P 在抛物线上，PD ⊥ x 轴，交 BC 于 E

二四个零件，一种思路

零件①　铅锤：一段竖线，长在两条线之间

P 在抛物线上，E 在直线 BC 上，而PE 是竖直的——因为 PD ⊥ x 轴，E 就落在 PD 上，两点横坐标永远相同。

横坐标相同，长度就简单了：上面减下面。

PE ＝ y_P− y_E这一减，减出一个二次函数。二次函数求最值，配方，完了。

这个动作有个外号，叫「铅锤法」——想象 P 点垂下一根铅垂线，垂到 BC 上，那根线的长度就是 PE。只要竖线的上下两端分别落在一条抛物线和一条直线上，它的长度一定是二次函数，最大值一定在顶点。

图 2　P 沿着抛物线走，PE 先变长再变短，中间那一点最长（t ＝ 2 时 PE ＝ 2）

零件②　平移：别搬整条曲线，算出位移向量

「沿射线 AC 方向平移 √5 个单位」，很多同学第一反应是「往右上挪一点」，然后卡住——挪多少？

正确的读法只有一句：平移距离 × 单位向量＝位移向量。

A（−2，0）、C（0，4），射线 AC 的方向向量是（2，4），

长度｜AC｜＝ √（4 ＋ 16）＝2√5。单位向量＝（2，4）÷ 2√5 ＝（1，2）÷ √5。平移 √5 个单位 ⟹ 位移＝ √5 × （1，2）÷ √5 ＝（1，2）。所以整条抛物线向右 1、向上 2。C（0，4）就搬到了C′（1，6）。

写新解析式，不要重新设 a、b、c，直接用「左加右减，上加下减」：

新函数＝ f（x − 1）＋ 2（右移 a：把 x 换成 x − a；上移 b：在外面加 b）

图 3　沿射线 AC 平移 √5，C 搬到 C′（1，6）；新抛物线上找一点 Q，使 ∠CBQ ＝ ∠ACB

零件③　旋转 90° 再取中点：直线还是直线

这一问最唬人，其实只要把坐标写出来，一切都朴素得不像压轴题。

设M（m，4 − m）（因为 M 在直线 BC：y ＝ −x ＋ 4 上）。向量 OM ＝（m，4 − m）。绕 O顺时针转 90°，

向量（x，y）变成（y，−x）：OM′ ＝（4 − m，−m），

即M′（4 − m，−m）。N 是 OM′ 的中点，坐标就是 M′ 的一半：N（（4 − m）÷ 2，−m ÷ 2）。设 N（u，v）。由 v ＝ −m ÷ 2 得m ＝ −2v，代进 u ＝（4 − m）÷ 2：u ＝（4 ＋ 2v）÷ 2 ＝ 2 ＋ v，即u − v ＝ 2。一条直线。N 的轨迹是 l：y ＝ x − 2。

这就是全部秘密：旋转＋取中点＝坐标的一次简单代换，代换完，参数 m 被消掉，剩下的是一条直线。

一个小彩蛋，帮你记住这个旋转：把 M 放在 C（0，4），则 M′ 正好落在B（4，0）——因为 OC ＝ OB ＝ 4，转了 90° 就重合了。这时 N 是 OB 的中点（2，0），也在 l 上。所以「OM 顺时针转 90°」，在本题里就是把 OC 转到 OB 上。图形记牢，坐标就不会写反。

图 4　OM 顺时针转 90° 得 OM′，N 取中点；M 跑遍 BC，N 就在直线 l：y ＝ x − 2 上跑

零件④　垂足：一次「免费的平移」

NF ⊥ OE，F 在 OE 上。第（2）问已经算出 P（2，4）、E（2，2），所以OE 就是 y ＝ x。

N 在 l：y ＝ x − 2 上，

l 与 OE 平行（斜率都是 1），两条平行线之间的距离是定值：

d（N 到 OE）＝ 2 ÷ √2 ＝√2——　与 N 在 l 上的位置无关

距离恒定、方向恒定（垂直于 OE），意味着：不管 N 走到哪儿，F 都在 N 的同一个位置上——往左 1、往上 1。

所以 NF 不是一段「乱跑」的线段，而是一段跟着 N 走的定长平移。既然如此，PF 可以被搬到 N 身边去。

把 P 沿 NF 的反方向平移，得到P′（2 ＋ 1，4 − 1）＝（3，3）。因为 PF ∥ NP′ 且 PF ＝ NP′（都等于 √2，方向相反），所以四边形PFNP′是平行四边形，于是PF ＝ P′N。原式＝ AN ＋ PF ＝AN ＋ NP′——两个定点 A、P′，一个在定直线上的动点 N。

图 5　PF 被搬成 P′N：A、N、P′ 三点一拉直，最短就是 AP″（P″ 是 P′ 关于 l 的对称点）

三第（1）问：交点式一步到位

已知抛物线与 x 轴交于A（−2，0）、B（4，0），设y ＝ a（x ＋ 2）（x − 4）。把 C（0，4）代入：a × 2 × （−4）＝ 4　⟹　−8a ＝ 4　⟹a ＝ −1/2。所以　y ＝ −1/2·（x ＋ 2）（x − 4）＝−1/2·x² ＋ x ＋ 4。顺手记下：对称轴 x ＝ 1，顶点（1，9/2）。

为什么不直接列方程组？把 A、B、C 三点代入 y ＝ ax² ＋ bx ＋ 4 也能算，c ＝ 4 白给，剩两个方程解 a、b。但交点式少解一次方程组：已知两个 x 轴交点，写成 a（x − x₁）（x − x₂），再代一个点就定 a。考场上省下的三分钟，就是最后一题的十分钟。

四第（2）问：铅锤法，一减一配方

先写直线 BC：B（4，0）、C（0，4），斜率 −1，所以y ＝ −x ＋ 4。

设 P（t，−1/2·t² ＋ t ＋ 4），其中0 ＜ t ＜ 4（P 在第一象限）。因为 PD ⊥ x 轴，E 在 PD 上，所以 E（t，4 − t）。PE ＝（−1/2·t² ＋ t ＋ 4） − （4 − t）＝−1/2·t² ＋ 2t＝ −1/2·（t − 2）² ＋2。所以 t ＝ 2 时 PE 最大，PE_max＝ 2，此时 P 的纵坐标＝ −1/2 × 4 ＋ 2 ＋ 4 ＝ 4，即P（2，4）。

为什么最大值一定在中间？PE 是一个开口向下的二次函数，顶点 t ＝ 2 落在 0 ＜ t ＜ 4 里面；两端 t ＝ 0、t ＝ 4 时 PE ＝ 0（P 与 C、B 重合）。端点必须验，但不用比。只要顶点在区间内，端点一定是小的那一头。

五第（3）问：平移一步，等角两解

第一步，求新抛物线。由零件②，位移向量是（1，2）：

新函数＝ f（x − 1）＋ 2＝ −1/2·（x − 1）² ＋（x − 1）＋ 4 ＋ 2＝ −1/2·x² ＋ 2x ＋9/2验一下：C′ 应该是（1，6），代入得 −1/2 ＋ 2 ＋ 4.5 ＝6✓顶点：x ＝ 2，y ＝13/2。

第二步，把「等角」翻译成「斜率」。∠ACB 在 C 点，两条边是 CA 和 CB。

CA 的斜率＝（4 − 0）÷ （0 ＋ 2）＝2；CB 的斜率＝−1。两条直线的夹角公式：tan θ ＝｜（k₂ − k₁）÷ （1 ＋ k₁k₂）｜tan∠ACB ＝｜（−1 − 2）÷ （1 ＋ 2 × （−1））｜＝｜−3 ÷ （−1）｜＝3。

没学过这个公式怎么办？它有纯初中的版本：过 A 作 AH ⊥ BC 于 H，A（−2，0）到 BC：x ＋ y − 4 ＝ 0 的距离 AH ＝ 6 ÷ √2 ＝ 3√2，AC ＝ 2√5，由勾股得 CH ＝ √（20 − 18）＝ √2，所以 tan∠ACB ＝ AH ÷ CH ＝ 3√2 ÷ √2 ＝3。同一个数。（tan 就是正切，九年级下册「锐角三角函数」的内容。）

现在让 ∠CBQ ＝ 3 的正切。设 BQ 的斜率为 k，BC 的斜率仍是 −1：

｜（k ＋ 1）÷ （1 − k）｜＝ 3① （k ＋ 1）÷ （1 − k）＝ 3　⟹　k ＋ 1 ＝ 3 − 3k　⟹k ＝ 1/2② （k ＋ 1）÷ （1 − k）＝ −3　⟹　k ＋ 1 ＝ −3 ＋ 3k　⟹k ＝ 2

两条斜率，就是两条射线。从 B 出发看过去，与 BC 夹角 71.6° 的方向有两个：一个在 BC 的上方（斜率 2），一个在 BC 的下方（斜率 1/2）。等角问题永远先问一句：另一边在哪儿？

第三步，联立求交点。先用 k ＝ 2 的那一支（斜率 2，过 B（4，0），即 y ＝ 2x − 8）：

−1/2·x² ＋ 2x ＋ 9/2 ＝ 2x − 8−1/2·x² ＝ −25/2x² ＝ 25，x ＝ 5 或 x ＝ −5。x ＝ 5 时 y ＝ 2x − 8 ＝2；x ＝ −5 时 y ＝ −18。取哪个？算角。BQ 向量：Q（5，2）时，BQ ＝（1，2），与 BC ＝（−4，4）的夹角余弦＝（−4 ＋ 8）÷ （√5 × 4√2）＝ 4 ÷ （4√10）≈ 0.316，71.6° ✓Q（−5，−18）时，BQ ＝（−9，−18），夹角余弦＝（36 − 72）÷ （√405 × 4√2）≈−0.316，是108.4°✗（它是 ∠ACB 的补角）

所以Q（5，2）。代回新抛物线验一下：−1/2 × 25 ＋ 10 ＋ 4.5 ＝2✓

关于另一支射线 k ＝ 1/2：它确实还会与新抛物线交于一点，落在第三象限（横坐标约 −2.4）。那个点也满足 ∠CBQ ＝ ∠ACB，只是超出了本题图形所画的范图。考场上怎么写？按图取Q（5，2）——题干给了图 2，图就是范围。但你要知道它存在：等角题常常天生两解，图形只是帮你筛掉一个。

六第（4）问：搬两次，拉一次

这一问看着复杂，其实只有四个动作：算轨迹 → 搬线段 → 拉直 → 回代。前面三个零件已经把前两步做完了，剩下两步收尾。

动作一：写出 N 的轨迹。由零件③，N 在l：y ＝ x − 2上。动作二：把 PF 搬到 N 身边。OE 是 y ＝ x，NF ⊥ OE，N 到 OE 的距离恒为 √2、方向恒为（1，−1）。把 P 沿（1，−1）平移得P′（3，3），则四边形 PFNP′ 是平行四边形，PF ＝ P′N。动作三：拉直。AN ＋ PF ＝ AN ＋ NP′。A（−2，0）与 P′（3，3）都在直线 l 的同一侧（代进 x − y − 2：−4 与 −2，同号），所以要先作对称。P′（3，3）关于 l：x − y − 2 ＝ 0 的对称点P″（5，1）：到 l 的距离＝｜3 − 3 − 2｜÷ √2 ＝ √2，沿法线方向（1，−1）再走 2√2，得（3 ＋ 2，3 − 2）＝（5，1）。于是　AN ＋ NP′ ＝ AN ＋ NP″ ≥AP″。AP″ ＝ √［（5 ＋ 2）² ＋（1 − 0）²］＝ √（49 ＋ 1）＝5√2。

动作四：回代，看等号能不能取到。（考卷上这步常常省，但省了就要扣分。）

取等 ⟺ A、N、P″ 三点共线。AP″ 的斜率＝ 1 ÷ 7，直线为 y ＝（x ＋ 2）÷ 7。与 l：y ＝ x − 2 联立：（x ＋ 2）÷ 7 ＝ x − 2　⟹　x ＋ 2 ＝ 7x − 14　⟹x ＝ 8/3，y ＝ 2/3。即N（8/3，2/3）。由 v ＝ −m ÷ 2 得m ＝ −4/3，所以M（−4/3，16/3）（它在 BC 的延长线上，题目说「直线 BC」，允许）。验算：AN ＝ √［（14/3）² ＋（2/3）²］＝ 10√2/3；F 是 N 往左上 1：F（5/3，5/3），PF ＝ √［（1/3）² ＋（7/3）²］＝ 5√2/3；10√2/3 ＋ 5√2/3 ＝ 15√2/3 ＝5√2✓

AN ＋ PF 的最小值＝ 5√2此时 M（−4/3，16/3），N（8/3，2/3），F（5/3，5/3）。

为什么 P′ 要沿（1，−1）平移，而不是别的方向？因为 F ＝ N ＋（−1，1），这个偏移是死的——由「N 在 l 上」和「NF ⊥ OE」两件事共同决定。换个说法：NF 是 N 到 OE 的「垂距」，方向和长度都不变，所以它等价于把 P 平移了一个固定向量。凡遇到「动点到定直线的垂足」，都这样处理。

七六个坑，一个都别踩

常见错误	为什么错 / 正确做法
平移 √5 写成「右移 √5、上移 √5」	平移距离要乘单位向量：√5 ×（1，2）÷ √5 ＝（1，2）。写成（√5，√5）的同学，新抛物线整个算错，后面两问全崩。
新解析式写成 f（x ＋ 1）＋ 2	「右移」是 x 换成x − 1，不是 x ＋ 1。记不住就代点验：C（0，4）必须搬到（1，6）。
铅锤法忘了 t 的范围	P 在第一象限 ⟹ 0 ＜ t ＜ 4。顶点 t ＝ 2 在区间内，所以直接取；若顶点在区间外，就必须比端点。
等角只算出一个斜率	｜tan｜＝ 3 会给出 k ＝ 2 和 k ＝ 1/2两个解。先都算出来，再用「夹角是锐角还是钝角」「点在图形哪一侧」去筛。
把 Q（−5，−18）也算进去	这个点在直线上、也在抛物线上，但它给出的 ∠CBQ 是108.4°，是 ∠ACB 的补角。算完斜率必须回头算角，｜tan｜相等不等于角相等。
N 的轨迹不会求，直接设 N（x，y）硬列式	用参数 m 表示 M，一路代换到 N，最后消参。这是求轨迹的通法，比硬想几何关系靠谱。

八多题一解：六句条件反射

把四个问拆开，每一问都对应一句「看见就这样想」的话。以后遇到同类题，照表查：

题面说法	翻译成什么	用什么工具
P 在抛物线上、E 在直线上，PE ⊥ x 轴	竖线长度＝上减下	铅锤法，一次函数减二次函数，配方
沿射线 AB 方向平移 d 个单位	位移＝ d × 单位向量	单位向量（也可用相似比）
OM 绕 O 旋转 90° 得 OM′	（x，y）→（y，−x）顺时针；（−y，x）逆时针	坐标代换，别画图硬转
N 是 OM′ 的中点	N 的坐标＝ M′ 的一半	中点公式＋消参得轨迹
过 N 作 NF ⊥ 定直线	垂足＝ N 沿定方向平移定长	把线段搬到定点旁边（平行四边形）
求 AN ＋ PF 最小（A、P 定点）	两点在定直线同侧，先对称再连线	将军饮马，等号处三点共线

三个可以带走的结论① 竖线最值不用怕：上减下，必是二次，配方即得；② 平移题先把「距离 × 单位向量」算出来，再谈图像；③ 一旦出现「旋转＋中点＋垂线」，按顺序写坐标，你会发现每一步都只是在加减乘除。

九同类题（答案在文末）

同类题 1抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ 6（a ＜ 0）与 x 轴交于 A（−3，0）、B（6，0），与 y 轴交于 C。点 P 为第一象限内抛物线上的动点，过 P 作 PD ⊥ x 轴交 BC 于 E。（1）求抛物线的解析式；（2）求 PE 的最大值及此时 P 的坐标；（3）将抛物线沿射线 AC 方向平移 √5 个单位，点 Q 在新抛物线上，且 ∠CBQ ＝ ∠ACB，求 Q 的坐标；（4）当 PE 最大时作直线 OE，M 为直线 BC 上的动点，将 OM 绕 O 顺时针旋转 90° 得 OM′，取其中点 N，过 N 作 NF ⊥ OE 于 F，求 AN ＋ PF 的最小值及此时 M、N 的坐标。

同类题 2（变式：数据缩小，结论不变）抛物线 y ＝ ax² ＋ bx ＋ 2（a ＜ 0）与 x 轴交于 A（−1，0）、B（2，0），与 y 轴交于 C。其余条件同原题。（1）求抛物线的解析式；（2）求 PE 的最大值及此时 P 的坐标；（3）将抛物线沿射线 AC 方向平移 √5 个单位，点 Q 在新抛物线上且 ∠CBQ ＝ ∠ACB，求 Q 的坐标；（4）求 AN ＋ PF 的最小值。

十参考答案

本题答案

（1）设 y ＝ a（x ＋ 2）（x − 4），代入 C（0，4）得 −8a ＝ 4，a ＝ −1/2，所以y ＝ −1/2·x² ＋ x ＋ 4（对称轴 x ＝ 1，顶点（1，9/2））。（2）BC：y ＝ −x ＋ 4。设 P（t，−1/2·t² ＋ t ＋ 4），E（t，4 − t），PE ＝ −1/2·t² ＋ 2t ＝ −1/2·（t − 2）² ＋ 2，所以PE_max＝ 2，此时P（2，4）。（3）位移向量＝ √5 ×（1，2）÷ √5 ＝（1，2），新抛物线y ＝ −1/2·x² ＋ 2x ＋ 9/2（顶点（2，13/2））。tan∠ACB ＝ 3 ⟹ ｜（k ＋ 1）÷ （1 − k）｜＝ 3 ⟹ k ＝ 2 或 k ＝ 1/2。k ＝ 2：y ＝ 2x − 8，联立得 x² ＝ 25，取满足锐角的 x ＝ 5，Q（5，2）。（另一支 k ＝ 1/2 与抛物线的交点落在第三象限，超出本题图形范围。）（4）N 在 l：y ＝ x − 2 上；NF ⊥ OE（y ＝ x）⟹ F ＝ N ＋（−1，1）。P（2，4）沿（1，−1）平移得 P′（3，3），PF ＝ P′N；P′ 关于 l 的对称点 P″（5，1），AN ＋ PF ≥ AP″ ＝ √（49 ＋ 1）＝5√2。取等时 A、N、P″ 共线，N（8/3，2/3），M（−4/3，16/3）。

同类题 1

（1）设 y ＝ a（x ＋ 3）（x − 6），代入 C（0，6）得 −18a ＝ 6，a ＝ −1/3，所以y ＝ −1/3·x² ＋ x ＋ 6（对称轴 x ＝ 3/2）。（2）BC：y ＝ −x ＋ 6。PE ＝ −1/3·t² ＋ 2t ＝ −1/3·（t − 3）² ＋ 3，所以PE_max＝ 3，P（3，6）。（3）位移向量（1，2），新抛物线y ＝ −1/3·x² ＋ 5/3·x ＋ 20/3；tan∠ACB ＝ 3 ⟹ BQ 斜率 2 或 1/2；k ＝ 2 时 y ＝ 2x − 12，联立得 x ＝ 7 或 −8，取Q（7，2）。（4）P（3，6），E（3，3），OE：y ＝ x；N 在 l：y ＝ x − 3 上，F ＝ N ＋（−3/2，3/2）；P′（9/2，9/2），P″（15/2，3/2），AN ＋ PF 的最小值＝ AP″ ＝ 15√2/2，此时 N（4，1）、M（−2，8）。

同类题 2

（1）设 y ＝ a（x ＋ 1）（x − 2），代入 C（0，2）得 −2a ＝ 2，a ＝ −1，所以y ＝ −x² ＋ x ＋ 2（对称轴 x ＝ 1/2）。（2）BC：y ＝ −x ＋ 2。PE ＝ −t² ＋ 2t ＝ −（t − 1）² ＋ 1，所以PE_max＝ 1，P（1，2）。（3）位移向量（1，2），新抛物线y ＝ −x² ＋ 3x ＋ 2；tan∠ACB ＝ 3 ⟹ BQ 斜率 2 或 1/2；k ＝ 2 时 y ＝ 2x − 4，联立得 x² − x − 6 ＝ 0，取 x ＝ 3，Q（3，2）。（4）E（1，1），OE：y ＝ x；N 在 l：y ＝ x − 1 上，F ＝ N ＋（−1/2，1/2）；P′（3/2，3/2），P″（5/2，1/2），AN ＋ PF 的最小值＝ AP″ ＝ 5√2/2，此时 N（4/3，1/3）、M（−2/3，8/3）。

写在最后这道题真正要带走的是两句话。第一句：动点都有规矩，规矩就是轨迹。N 看着在乱跑，可你只要写出它的坐标，参数一消，它就是直线上的一点。压轴题从不考「你看不看得见」，只考「你算不算得出」。第二句：不能动的东西，就把它搬走。NF 是定长、定方向，所以它能被搬到任何地方；PF 搬到 N 身边，折线就成了一条直线。能被平移的量，从来不是障碍，是台阶。明天第 11 题：抛物线里的「角平分线＋相似」，把今天的「等角」换成「角平分」，看看两条路能不能通到同一个地方。

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