📌【题干】
（2024年新高考II卷）已知双曲线 ()，点 在 上， 为常数，.按照如下方式依次构造点 ()：过 斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点.记 的坐标为 .
(1) 若 ，求 ；
(2) 证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3) 设 为 的面积，证明：对任意正整数 ，.
🔍【思路分析】
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第一问：代入 求出 。写出直线方程并与双曲线联立，解二元二次方程组找到左支交点 ，再利用对称性求 。 第二问（核心递推）：
几何关系转换： 与 对称。由于 和 在斜率为 的直线上，满足 。 点差法：利用 均在双曲线上，通过平方差公式 建立坐标间的比例关系，消去 得到 的递推式。 第三问（面积定值）：
坐标参数化：设 ，则 。由此可将 表达为关于 的函数。 面积公式：利用三角形面积的坐标表示公式 ，代入 （其中 ），验证 表达式与 无关。
✍【详细解析】
[!abstract]
（1）求解具体坐标在上，
，解得，
过且斜率为的直线方程为，即，
联立，解得或，故，，
过斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，
所以，；
（2）证明：等比数列
解法一：证明：，关于轴的对称点是，，，，，都在同一条斜率为的直线上，； 则，，都在双曲线上，，两式相减可得，， 而①，②， 则②①可得，， 则，，故数列是公比为的等比数列； 解法二：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根， 相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
（3）证明：面积为定值
解法一：要证：，只需先尝试，即先证， 记，由 （2）可得 由，，，，，．
解法二:先证明：对平面上三个点[A,B,C]，若，，则. 证明：. 记，由 （2）可得 由，，，而有，，这就表明的取值是与无关的定值，所以.
解法三
将点 代入双曲线方程 ，得：
故双曲线 的方程为 ****。
当 时，过点 且斜率为 的直线方程为：
代入双曲线方程 中：
解得：
，此时 （对应点 ）； ，此时 。 因此，直线与双曲线左支的交点为 。
点 为 关于 轴的对称点，故点 的坐标为 。即 ****。
设 是双曲线右支上的点，过 斜率为 的直线方程为：
设 为该直线与双曲线 的交点，则 是关于 的一元二次方程的两个根。
消去 ，代入 ：由于 在双曲线上，满足 ，利用根与系数的关系（韦达定理）：
两边同除以 （由于 ），得到：
代入直线方程求 ：
因为 是 关于 轴的对称点，所以：
计算 ：
已知 ，则 。
又因为 ，故 且为非零常数。因此，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列。
由第 (2) 问的递推关系式，从 到 的坐标变换关系可用矩阵表示为：
记此线性变换矩阵为 ：
计算矩阵 的行列式 ：
因为线性变换 的行列式满足 ，说明该坐标变换为等面积变换。
对三角形 的三个顶点分别施加变换 ，顶点分别映射至 ，从而得到三角形 。
由于等面积变换保持平面多边形的面积不变，故有：
因此，对任意正整数 ，均有 ****。
证毕。
