§1 均值链
：
即 QM ≥ AM ≥ GM ≥ HM。
证（全靠配方，一段一个）：
四段都是"配方 ≥ 0"，取等一律 。这就是均值链的全部证明，不需要别的工具。
例 1，求 最小值。
答案 4，。
例 2 已知条件里出现 时，用
证：。取等 。
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§2 柯西
证：。
取等 ，即两向量共线。
柯西的本质：点积不超过模长乘积。做题第一步先问——谁和谁点乘。
一般形式：
分式型（考得最多）：
例 3，求 最大值。
取 ，：
取等。
形如 的题， 就是那个隐藏向量。
例 4（乘 1 法），求 最小值。
答案 9，。
目标式是"一次"、条件是"分式"时，把条件乘进去，分母消失、变成"常数 + 倒数结构"。
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§3 权方和
证：。取等 。
项形式就是 §2 的分式型，两者是同一个式子，只是这里把"分母"看得更重。
例 5，求 最小值。
取等，答案 3。
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§4 糖水
证：。
也可看作 ，。
本质是"分子分母同加正数，比值向 1 靠拢"。真分数变大，假分数变小。
例 6 比较 ：同加 1 递增，。
例 7 单调递增，即糖水。
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§5 反柯西
证：
展开核对：
相减， 与 抵消，剩 。
取等 。
左边减右边是"一个完全平方的相反数"，所以 ≤ 0 无条件成立——不需要 、不需要 、不需要正数。很多资料加的那些条件是多余的。
高中很少单独考，多在"新定义题"里出现。知道它恒成立、知道取等条件就够。
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§6 琴生（切线法）
若 的图像在任意一条切线的上方，即
称 下凸（如 、、）。在切线下方的称上凸（如 ，以及 上的 ）。
怎么判断凹凸（高中做法，不用二阶导）：令 ，求导看 是否在 处取最小（下凸）或最大（上凸）。例：，，下凸。
下凸时：
上凸反向。
证（切线法）：在 处作切线 。下凸时 ，取 求和，一次项抵消：
琴生 = 在均值点切一刀。这也解释了为什么极值总在变量全相等处取到。
怎么选 ：
多元均值是琴生取 的特例： 就是 的 元版。
例 8，求 最小值。
下凸，。（柯西也行：。）
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§7 一张图
平方管代数，凸性管极值，单调管比较。
7 个名字，5 个独立：权方和就是柯西的分式写法，多元均值就是琴生取 。剩下 5 条互不替代——均值链、柯西、反柯西、糖水、琴生。
§8 八道题
1.，求 最小值。
由 得 ，故 。
又 ⇒ 。答案 2，。
2.，求 最小值。
用 ：
令 ，，（因 ），递减，最小在 ：
答案 ，。
验算： 时， ✓
别对 单独用均值得 2 —— 等号要 ，与 冲突。
3.，求 最小值。
权方和：。 取等。答案 1。
4.，求 最小值。
柯西：，故 。答案 3，。
5.，求 最小值。
，故 。答案 3，。
6.（）最小值。
均值给 4，但取等需 。，单增，最小 。
答案 。
7. 证明 时，。
先证一条切线不等式：令 ，则 ， 时 、 时 ，故 是最小值，即
（这就是 在 处的切线。）
取 求和：。取等 。
8. 反柯西：，见 §5。
12 条易错
