[62]初三相似&三角形内接特殊四边形!

谁懂啊😭初三学到相似三角形 三角形内接正方形 / 矩形/平行四边形题目总丢分 一会儿填空，一会儿大题，变着花样考其实根本不用刷一大堆题 吃透这一个模型，一类题直接通杀✅

🔍什么是三角形的内接四边形？

四个顶点都在三角形的三条边上的四边形，叫做这个三角形的内接四边形。

👉一定会出现平行线 → 构造相似三角形。

💡核心考点（一定要记牢）✨相似三角形：对应高之比 = 相似比大三角形的高 ＝ 小三角形的高 ＋ 正方形（矩形）的边长。

三角形内接正方形、矩形、平行四边形问题

三角形里面内接正方形、矩形、平行四边形是相似三角形非常经典的考法，选择、填空、解答题都经常出现。很多同学碰到这类题容易无从下手，其实解题方法非常固定：利用平行线证相似，用“相似三角形对应高之比”=“相似比”建立方程求解。

一块直角三角形木板的面积为1.5 m²，一条直角边AB为1.5 m，怎样才能把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)．

思路解析

1.先算出三角形基础边长 

已知AB＝1.5 m，S_△ABC＝1.5 cm²，求得另一条直角边BC＝2 m，如图甲，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高BH，交DE于点P，交AC于点H.由AB＝1.5 m，BC＝2 m，由勾股定理可得得：AC＝2.5 m。

利用三角形面积等积法，得S_△ABC＝AC·BH＝AB·BC，求出斜边上的高得BH＝1.2 m.

2．甲方案（正方形一边落在斜边上）

设正方形边长为xm，

∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠C，∠BED＝∠A.

∴Rt△BDE∽Rt△BCA.

💡核心结论：相似三角形对应高的比等于相似比

3．乙方案（正方形一边落在直角边上）

设正方形的边长为y m，

∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠B，∠CED＝∠A.

∴Rt△CDE∽Rt△△CBA.

💡解题关键总结

1．什么叫三角形的内接正方形：正方形四个顶点全部落在三角形的三边上。会出现一组平行线，直接构造出相似三角形。

2．高的关系：大三角形的高=小三角形的高+正方形（矩形）的边长。

3．核心思想：方程思想，借助“相似三角形对应高之比等于相似比”列方程，把未知边长设为未知数求解。

🔥记住这个模型：看到三角形内接矩形/正方形/平行四边形，优先找相似，找两组高！🔥

例1．如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上，BC＝4，△ABC的面积是6，求这个正方形的边长。

解：设正方形DEFG的边长为xm，过A作AH⊥BC，重足为H，交GF于点P；

∴AH是△ABC的高，AP是△AGF的高；

解：设PQ＝y，则PN＝2y.

∵四边形PQMN是矩形，

∴PN∥QM.∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C.

∴△APN∽∽△ABC.

例3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，AC=8,平行四边形DEFG为△ABC的内接四边形，且DE=5cm；求平行四边形DEFG的面积。

解：如图，过点A作AH⊥BC，重足为H，交DE于点P；

🎯模型复盘｜考试直接套用

✅模型特征：三角形内部有一个内接正方形 / 矩形/平行四边形，矩形一边落在三角形的底边上，另外两个顶点落在两条腰上。 

✅必备条件：上下两个三角形相似。 

✅核心公式：“对应高之比 = 相似比”。

📝实战练习

1．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，点D在边AB上，点G在边AC上，△ADG的面积是40，△ABC的面积是90，AM⊥BC于点M，交DG于点N，求AN∶AM的值?

2.如图，一块木板呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高AD=60cm，要把该木板加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2：1，且该矩形长的一边位于边BC上，另两个顶点分别在边AB，AC上，求这个矩形零件的边长。

📢这就是三角形内接四边形模型，是初三相似的必考题。 你平时做这类题目最容易踩什么坑？欢迎留言说一说！

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