初三数学——韦达定理:从公式到题型

根与系数的关系

01.

数学故事

“韦达定理”来源于16世纪的数学家弗朗索瓦·韦达，他不仅是是数学家，还是一位律师、议员，甚至还是一位密码破译高手。

在韦达生活的时代，数学家们写方程非常麻烦，需要用一大段文字来描述，比如“一个未知数的平方，加上这个数字的5倍，等于14”，韦达觉得这太啰嗦麻烦了，于是他想出了一个绝妙的办法：用字母来代表已知数和未知数，比如刚刚那一段文字就可表示为“x²+5x=14"。因此，韦达也被尊称为”代数学之父“。

韦达在研究方程时，发现了一个神奇的规律：不用解方程，只要看方程的系数，就能直接知道两个根的和与积。这个关系揭示了方程的根与系数之间的关系，为纪念他做出的贡献，这个关系被称为”韦达定理“。

02.

数学知识点

一元二次方程 𝒂𝒙^𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝟎 (𝒂≠𝟎)的两个根x₁，x₂和系数a，b，c有如下关系：

韦达定理可以解方程就可得出两根之和，两根之积，但要注意使用这个定理要满足以下两个条件：

1、一元二次方程必须化为一般形式。

2、根的判别式 Δ = b² - 4ac ≥ 0，否则方程无实根，不能使用。

常见变形：

03.

经典例题

已知关于x的方程x²+（2k﹣1）x+k²﹣1＝0有两个实数根x₁，x₂．

（1）求实数k的取值范围；

（2）若x₁，x₂满足x₁²+x₂²＝16+x₁x₂，求实数k的值．

【解答】

（1）∵关于x的方程x²+（2k﹣1）x+k²﹣1＝0有两个实数根x₁，x₂，

∴Δ＝（2k﹣1）²﹣4（k²﹣1）＝﹣4k+5≥0，

解得：k≤ 5\4

∴实数k的取值范围为k≤ 5\4．

（2）∵关于x的方程x²+（2k﹣1）x+k²﹣1＝0有两个实数根x₁，x₂，

∴x₁+x₂＝1﹣2k，

  x₁•x₂＝k²﹣1．

∵x₁²+x₂²＝（x₁+x₂）²﹣2x₁•x₂＝16+x₁•x₂，

∴（1﹣2k）²﹣2·（k²﹣1）＝16+（k²﹣1），

即k²﹣4k﹣12＝0，

解得：k＝﹣2或k＝6（不符合题意，舍去）．

∴实数k的值为﹣2．

04.

十道题巩固知识点