我是莫老师。
今天咱们来看一道经典的“数形结合”中考综合题。这道题把等腰直角三角形、一次函数、反比例函数以及图形的平移融合在了一起。
很多同学在前面两问能拿满分，但一做到第(3)问的“恰有一个交点”，就全乱了套。
今天，莫老师带大家把这道题扒开揉碎了看，彻底搞懂这类题的通关密码。
这道题看似图形复杂，其实考点非常清晰，主要考查了三个维度：
①坐标与几何性质：
利用等腰直角三角形的性质（
②待定系数法：
先用待定系数法求出直线
③动态平移与临界点分析（核心难点）：
这是第(3)问的命门。图形往下掉，双曲线的两支固定不动。要找“恰有一个交点”，本质上就是要找“交点刚好落在三角形的顶点上”的临界状态。
学生需要脑补出整个三角形平移时的动态过程，然后分情况列出方程。
反比例函数与几何图形结合，是全国各地中考数学的“常青树”，通常出现在解答题的第20-22题，分值在8-10分之间。
①第一、二问（求坐标与解析式）：
属于送分题。中考要求是“必须拿满”，算错一步，后面全盘皆输。
②第三问（动态交点问题）：
属于区分题。近年来，中考越来越喜欢在双曲线上做“平移”、“旋转”的文章。它不考死记硬背，考的是学生画草图、找临界点、以及分类讨论的能力。
③备考建议：
遇到平移问题，千万别光在脑子里想。一定要在草稿纸上画三幅图：
平移前的图、刚好相切/交于顶点的图、平移后的图。
图画清楚了，n 的值自然就出来了。
这道题完美契合了新课标对初中数学核心素养的要求：
①几何直观：
新课标要求“能根据图形特征，建立形与数的联系”。
第(3)问中，学生必须借助图形的平移变化，直观地找到“交于端点”这一临界状态，才能把几何问题转化为代数方程。
②模型观念：
将等腰直角三角形的模型（横平竖直的直角边）与反比例函数模型（双曲线）相结合，体现了数学知识的结构化。
③应用意识与创新意识：
通过参数 n 的引入，打破了静态的数学模式，让学生在动态的过程中寻找不变量，这正是新课标倡导的探究式学习。
遇到这种“图形平移找交点”的题，记住莫老师的一句话：“动中找静，卡准端点”。
三角形在动，但双曲线是静止的。当交点数从0个变成2个，或者从2个变成0个时，中间必定有一个“恰好交于顶点”的瞬间。
把三角形的三个顶点坐标（含参数 n）写出来，分别代入双曲线解析式算一算，答案就无处遁形了。
大家赶紧去纸上画图试试吧！
莫老师的数学花园 ｜ 动中找静，卡准端点
今天是2026年10月24日，周六，天朗气清。
就写到这里，这篇分享，仅代表个人观点，
