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第13天·2023新高考I卷·数列不等式证明
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第13天·2023新高考I卷·数列不等式证明 来源：2023年新课标全国I卷·第20题（解答题改编） 考点：等差数列通项、数列不等式证明、放缩法 分值：12分 建议用时：15-18分钟 难度：⭐⭐⭐⭐ 题目 已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₁=1，S₃=9。 （1）求数列{aₙ}的通项公式； （2）设bₙ=1/(aₙ·aₙ₊₁)，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ； （3）证明：Tₙ<1/2对任意n∈N*恒成立。 手写区 （请先独立完成，再往下翻看解析） 解析 第（1）问：求通项公式 第一步：设等差数列首项为a₁，公差为d 已知a₁=1，S₃=9。 S₃=a₁+a₂+a₃=a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)=3a₁+3d。 代入a₁=1：3+3d=9，所以3d=6，d=2。 第二步：写通项 aₙ=a₁+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1。 第（1）问答案：aₙ=2n-1。 第（2）问：求Tₙ 第一步：写出bₙ aₙ=2n-1，aₙ₊₁=2(n+1)-1=2n+1。 bₙ=1/[(2n-1)(2n+1)]。 第二步：裂项 1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2·[1/(2n-1)-1/(2n+1)]。 验证：1/2·[(2n+1)-(2n-1)]/[(2n-1)(2n+1)]=1/2·2/[(2n-1)(2n+1)]=1/[(2n-1)(2n+1)]✅。 第三步：求和 Tₙ=b₁+b₂+…+bₙ =1/2·[(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+…+(1/(2n-1)-1/(2n+1))] =1/2·[1-1/(2n+1)] =1/2·(2n)/(2n+1) =n/(2n+1)。 第（2）问答案：Tₙ=n/(2n+1)。 第（3）问：证明Tₙ<1/2 由第（2）问，Tₙ=n/(2n+1)。 比较n/(2n+1)和1/2： n/(2n+1)<1/2⇔2n<2n+1⇔0<1，恒成立。 所以Tₙ<1/2对任意n∈N*恒成立，得证。 易错点提醒 第一个坑：第（1）问S₃展开时项数搞错。 S₃=a₁+a₂+a₃，共3项。不要写成a₁+a₂或a₁+a₂+a₃+a₄。 第二个坑：第（2）问裂项系数漏掉。 1/[(2n-1)(2n+1)]裂项后是1/2·[1/(2n-1)-1/(2n+1)]，系数1/2不能漏。判断方法：分母两项的差是2，系数就是1/2。 第三个坑：第（2）问求和时抵消后剩余项搞错。 展开后中间项全部抵消，剩下1/1-1/(2n+1)。不要写成1/1+1/(2n+1)或其他形式。 第四个坑：第（3）问证明时忘记用第（2）问的结果。 第（3）问的不等式证明需要用到第（2）问求出的Tₙ表达式。如果第（2）问算错，第（3）问也无法得分。 真题规律总结 2023新高考I卷的数列题考查的是“等差数列通项”、“裂项相消求和”和“数列不等式证明”的综合。第（1）问是基础，第（2）问是裂项相消的标准流程，第（3）问是利用求和结果证明不等式。 关键得分点：第（1）问的S₃展开和公差计算；第（2）问的裂项系数、求和、化简；第（3）问的代数比较。 备考建议：裂项相消是数列求和的必考方法，必须练到“看到分母是两项乘积，就能判断系数是多少”。数列不等式证明通常比较简单，用求和结果直接比较即可。
