第一部分 初中数学常考公式
1. 幂的运算（m，n为正整数）
同底数幂相乘：aᵐ·aⁿ＝aᵐ⁺ⁿ 同底数幂相除：aᵐ÷aⁿ＝aᵐ⁻ⁿ（a≠0） 幂的乘方：（aᵐ）ⁿ＝aᵐⁿ 积的乘方：（ab）ⁿ＝aⁿbⁿ 商的乘方：（a/b）ⁿ＝aⁿ/bⁿ（b≠0） 零指数幂：a⁰＝1（a≠0） 负整数指数幂：a⁻ⁿ＝1/aⁿ（a≠0）
2. 乘法公式与因式分解
类别 | 名称 | 公式 |
乘法公式 | 完全平方公式 | （a±b）²＝a²±2ab＋b² |
乘法公式 | 平方差公式 | （a＋b）（a－b）＝a²－b² |
因式分解 | 提公因式法 | am＋bm＋cm＝m（a＋b＋c） |
因式分解 | 公式法 | a²±2ab＋b²＝（a±b）² a²－b²＝（a＋b）（a－b） |
因式分解 | 十字相乘法 | x²＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） |
3. 分式的化简（分母不为0）
同分母加减：a/c ± b/c ＝ （a±b）/c
异分母加减：a/b ± c/d ＝ （ad±bc）/bd
乘法运算：a/b · c/d ＝ ac/bd
除法运算：a/b ÷ c/d ＝ a/b · d/c ＝ ad/bc
4. 二次根式
（√a）²＝a（a≥0） √a²＝|a|＝{ a（a≥0）；－a（a＜0） √ab＝√a·√b（a≥0，b≥0） √（a/b）＝√a/√b（a≥0，b＞0）
5. 一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0（a≠0）
根的判别式：b²－4ac
b²－4ac＞0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根
b²－4ac＝0 ⇔ 方程有两个相等的实数根
b²－4ac≥0 ⇔ 方程有两个实数根
b²－4ac＜0 ⇔ 方程没有实数根
求根公式：x＝（－b±√（b²－4ac））/（2a） （b²－4ac≥0）
根与系数的关系：x₁＋x₂＝－b/a，x₁x₂＝c/a
方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式，避免丢根。 |
6. 列方程（组）解应用题
大类 | 细分类型 | 解题思路及公式 |
行程问题 | 相遇问题 （同时出发） | s甲＋s乙＝sAB，t甲＝t乙 |
行程问题 | 追及问题 （同时不同地出发） | s甲＝s乙＋sAB，t甲＝t乙 |
行程问题 | 追及问题 （同地不同时出发） | 若甲出发 t 小时后，乙才出发，而后在 B 处追上甲，则 s甲＝s乙，t甲＝t＋t乙 |
行程问题 | 航行问题 | 顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度； 静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）/2；水流速度＝（顺水速度－逆水速度）/2 |
销售问题 | 若单价每涨 a 元，少卖 b 件，则涨价 x 元少卖的数量为（x/a·b）件 | |
增长（降低）率问题 | 设 a 为原来量，m 为平均增长（降低）率，n 为增长（降低）次数，b 为增长（降低）后的量，则 a（1±m）ⁿ＝b | |
循环问题 | 单循环比赛 | 每两队之间比赛一场，则 x 队共比赛场数为 x（x－1）/2 |
循环问题 | 握手问题 | 每两人之间握手一次，则 x 人共握手次数为 x（x－1）/2 |
循环问题 | 送礼物问题 | 全班有 x 人，每人向其他人送一份礼物，则共送出礼物份数为 x（x－1） |
7. 两点距离，点到直线的距离及线段中点坐标
两点距离及线段的中点坐标公式：坐标平面内任意两点 P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）之间的距离 P₁P₂＝√（（x₂－x₁）²＋（y₂－y₁）²）；线段 P₁P₂ 的中点坐标为（（x₁＋x₂）/2，（y₁＋y₂）/2）。
点到直线的距离公式（拓展）：已知点 P（x₀，y₀）和直线 y＝kx＋b（即 kx－y＋b＝0），则点 P 到直线 y＝kx＋b 的距离 d＝|kx₀－y₀＋b|/√（1＋k²）。
8. 特殊角的三角函数值
α | 30° | 45° | 60° |
sin α | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
cos α | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
tan α | √3/3 | 1 | √3 |
9. 多边形
公式名称 | 表达式 |
n 边形的内角和 | （n－2）·180° |
正 n 边形的一个内角 | （n－2）·180°/n |
n 边形的外角和 | 360° |
正 n 边形的一个外角 | 360°/n |
n 边形的对角线 | n（n－3）/2 条 |
10. 面积、弧长公式
图形 | 面积/弧长公式 | 备注 |
三角形 | S＝1/2·ah＝1/2·（a＋b＋c）·r | a、b、c 为三角形三边长，h 为 a 边上的高，r 为内切圆半径 |
等边三角形 | S＝1/2·ah＝√3/4·a²（h＝√3/2·a） | a 为边长，h 为高 |
扇形 | l＝nπR/180；S＝nπR²/360＝1/2·lR | l 为弧长，n 为圆心角，R 为扇形半径 |
圆锥 | S侧＝πrR；S全＝πr²＋πrR | r 为圆锥底面圆半径 |
11. 统计与概率
算术平均数：x̄＝（x₁＋x₂＋…＋xₙ）/n
加权平均数：（x₁w₁＋x₂w₂＋…＋xₙwₙ）/（w₁＋w₂＋…＋wₙ）
方差：s²＝[（x₁－x̄）²＋（x₂－x̄）²＋…＋（xₙ－x̄）²]/n
概率：P（A）＝事件 A 包含的基本事件的个数/基本事件的总数
第二部分 初中数学常考性质及定理
1. 点坐标的对称
点的坐标 | 变换形式 | 对称点的坐标 | 口诀 |
（x，y） | 关于 x 轴对称 | （x，－y） | 横坐标不变 |
（x，y） | 关于 y 轴对称 | （－x，y） | 纵坐标不变 |
（x，y） | 关于原点对称 | （－x，－y） | 横、纵坐标均变号 |
（x，y） | 关于任意一点（a，b）对称 | （2a－x，2b－y） | 记中点坐标公式 |
（x，y） | 关于直线 y＝x 对称 | （y，x） | 横、纵坐标换位置 |
（x，y） | 关于直线 y＝－x 对称 | （－y，－x） | 横、纵坐标换位置、变号 |
2. 一次函数 y＝kx＋b（k≠0）（图象是一条倾斜的直线）
k、b 的符号 | 经过象限 | 性质 |
k＞0，b＞0 | 一、二、三 | y 随 x 的增大而增大 |
k＞0，b＝0 | 一、三 | y随x的增大而增大 |
k＞0，b＜0 | 一、三、四 | y随x的增大而增大 |
k＜0，b＞0 | 一、二、四 | y 随 x 的增大而减小 |
k＜0，b＝0 | 二、四 | y随x的增大而减小 |
k＜0，b＜0 | 二、三、四 | y随x的增大而减小 |
①与 x 轴的交点坐标为（－b/k，0）（即 y＝0），与 y 轴的交点坐标为（0，b）（即 x＝0）；②直线 l₁：y＝k₁x＋b₁，l₂：y＝k₂x＋b₂，若 l₁∥l₂，则 k₁＝k₂，且 b₁≠b₂；若 l₁⊥l₂，则 k₁k₂＝－1。 |
3. 反比例函数 y＝k/x（k≠0）（图象是双曲线）
k 的符号 | 经过象限 | 性质 |
k＞0 | 一、三 | 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 |
k＜0 | 二、四 | 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 |
讨论增减性时，一定是在每个象限内讨论的。 |
4. 二次函数 y＝ax²＋bx＋c（a≠0）（图象是抛物线）
解析式（a≠0）：y＝ax²＋bx＋c（一般式）；y＝a（x－h）²＋k（顶点式）；y＝a（x－x₁）（x－x₂）（交点式）。
项目 | a＞0 | a＜0 |
开口方向 | 向上 | 向下 |
对称轴 | 直线 x＝－b/（2a） | 直线 x＝－b/（2a） |
顶点坐标 | （－b/（2a），（4ac－b²）/（4a）） | （－b/（2a），（4ac－b²）/（4a）） |
增减性 | 对称轴左侧 y 随 x 增大而减小；右侧 y 随 x 增大而增大 | 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大；右侧 y 随 x 增大而减小 |
最值 | 当 x＝－b/（2a）时，y 有最小值（4ac－b²）/（4a） | 当 x＝－b/（2a）时，y 有最大值（4ac－b²）/（4a） |
与系数有关的常见代数式：
代数式 | 含义 |
2a＋b | －b/（2a）与 1 比较 |
2a－b | －b/（2a）与 －1 比较 |
a＋b＋c | 令 x＝1，看纵坐标 |
a－b＋c | 令 x＝－1，看纵坐标 |
4a＋2b＋c | 令 x＝2，看纵坐标 |
4a－2b＋c | 令 x＝－2，看纵坐标 |
9a＋3b＋c | 令 x＝3，看纵坐标 |
9a－3b＋c | 令 x＝－3，看纵坐标 |
5. 区分点与函数图象的平移规律
对象 | 左移 m 个单位 | 右移 m 个单位 | 上移 m 个单位 | 下移 m 个单位 |
点（x，y） | （x－m，y） | （x＋m，y） | （x，y＋m） | （x，y－m） |
直线 y＝kx＋b | y＝k（x＋m）＋b | y＝k（x－m）＋b | y＝kx＋b＋m | y＝kx＋b－m |
抛物线 y＝a（x－h）²＋k | y＝a（x－h＋m）²＋k | y＝a（x－h－m）²＋k | y＝a（x－h）²＋k＋m | y＝a（x－h）²＋k－m |
口诀：左减右加，上加下减（点）；左加右减，上加下减（直线、抛物线）。
遇到二次函数图象的平移，常将一般式化为顶点式。 |
6. 合理选择三角形全等的判定方法
判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（HL 只针对直角三角形）。
①“SSA”“AAA”不能判定两个三角形全等；②写三角形全等时，对应顶点必须放在对应位置上。 |
已知条件 | 判定思路 |
已知两边 | 找夹角 → SAS；找直角 → HL 或 SAS；找第三边 → SSS |
已知一边和一角 | 一边为角的对边 → 找另一角 → AAS； 一边为角的邻边 → 找夹角的另一边 → SAS；找夹边的另一角 → ASA；找边的对角 → AAS |
已知两角 | 找夹边 → ASA；找其中一角的对边 → AAS |
7. 相似三角形与黄金分割
相似三角形的判定：
两角分别相等的两个三角形相似； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 三边对应成比例的两个三角形相似。
相似三角形的性质：
对应角相等，对应边成比例； 对应角平分线、中线、高、周长的比等于相似比； 面积比等于相似比的平方。
黄金分割：若点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞BC，则 AC/AB＝BC/AC＝（√5－1）/2≈0.618。
8. 平行四边形、矩形、菱形、正方形
项目 | 平行四边形 | 矩形 | 菱形 | 正方形 |
边 | 两组对边平行且相等 | 两组对边平行且相等 | 两组对边平行，四条边都相等 | 两组对边平行，四条边都相等 |
角 | 对角相等，邻角互补 | 四个角都是直角 | 对角相等，邻角互补 | 四个角都是直角 |
对角线 | 互相平分 | 相等且互相平分 | 互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 | 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 |
对称性 | 中心对称图形 | 既是轴对称图形，又是中心对称图形 | 既是轴对称图形，又是中心对称图形 | 既是轴对称图形，又是中心对称图形 |
对称轴 | 无 | 有两条对称轴 | 有两条对称轴 | 有四条对称轴 |
面积 | S＝ah | S＝ab | S＝ah＝1/2·mn | S＝a²＝1/2·l² |
对角线互相垂直的四边形 ABCD 的面积 S＝1/2·AC·BD。 |
9. 特殊四边形之间的关系
从边与角的角度看：
平行四边形 ——（有一组邻边相等）→ 菱形；
平行四边形 ——（有一个角是直角）→ 矩形；
菱形 ——（有一个角是直角）→ 正方形；
矩形 ——（有一组邻边相等）→ 正方形。
从对角线的角度看：
平行四边形 ——（对角线互相垂直）→ 菱形；
平行四边形 ——（对角线相等）→ 矩形；
菱形 ——（对角线相等）→ 正方形；
矩形 ——（对角线互相垂直）→ 正方形。
10. 圆周角定理及其推论
定理：在同一个圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
结论：∠APB＝1/2∠AOB。
推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 半圆（或直径）所对的圆周角是 90°；90° 的圆周角所对的弦是直径。
11. 垂径定理及其推论
定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
常用结论：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 在以下 5 个结论中：①AC弧＝AD弧；②BC弧＝BD弧；③CE＝DE；④AB⊥CD；⑤AB 是⊙O 的直径。若其中任意两个结论成立，则其他三个结论一定成立，即“知二推三”； 常作辅助线：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，得 OD²＝OE²＋（1/2·CD）²。
12. 圆内接四边形
圆内接四边形的对角互补，如 ∠BAD＋∠BCD＝180°； 圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角，如 ∠DCE＝∠BAD； 连接圆内接四边形的两条对角线，必然存在两组相似三角形：△BAF∽△CDF，△DAF∽△CBF。
