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📚题目
🔍分析
❝我们今天带来一道第十四届大学生数学竞赛真题,不过今天我们要分享一下我们考研竞赛班学员他自己原创的方法,并且笔者也打算把他的方法摘录到我们的课程讲义里.
🧠解答
首先我们观察目标式, 题目要求证明的是的下界, 而已知条件中真正能够帮助我们控制导数的是
因此我们自然想到使用反证法, 假设由题目条件我们有
我们先对左边进行拆分,有
所以我们自然想到令
于是原来的二阶导数不等式就转化成
接下来我们想构造一个函数, 使得它的导数中恰好出现.根据乘积求导公式, 我们有
因此我们可知函数在上单调递减,所以对于任意, 都有
又因为
所以
由于 , 两边同时乘以 , 可得
将 代入, 得到
我们观察左边的形式, 根据乘积求导公式有
因此将刚才的不等式两边同时乘以 , 就有
对于任意 , 我们在 上对两边进行积分, 得到
因为 , 所以
两边同时乘以 , 整理可得
由于, 所以在上单调不增.又因为, 所以有下界, 由单调有界定理可知存在且为有限实数, 并且
另一方面, 根据我们刚才得到的不等式
令, 可得
接下来我们只需要证明右边是负数, 也就是证明
由于, 上面的不等式等价于
即
我们知道
因此
又因为, 所以
这就证明了
于是我们得到
显然矛盾！
所以最开始的假设不成立, 因此
于是我们完成了证明，怎么样是不是很简单呢！ ✨
1
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2
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