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(百合外国语初三10月)
【问题提出】
(1)如图，正方形ABCD中，
点M为边BC上一点，连接AM，过点M作ME⊥AM，交AD的延长线于点E，若AB=12，BM=5，则DE的长为________;
【问题探究】
(2) 如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上一点，将△BED沿BE翻折得到△BED´,延长DD´交BC延长线于点F，试探究DF与BE的数量关系和位置关系.
【问题解决】
(3)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=6，点E是边AB上一点，连接DE，将DE绕点E顺时针旋转90°得到FE，交BC于点H，AE绕点E顺时针旋转90°得到GE，连接CF、CG、GH，当BE=2AE时，求四边形CFHG的面积.
解：(1)易知∠MAE=∠BME
△ABM~△EMA
AM：AE=AB：AM
13:AE=12：13得AE=169/12，故DE=25/12
(点评：此问难度不大，根据角度即可知相似三角形，根据相似比例可得AE的长）
由已知D、D´关于BE对称，得BE⊥DF，∠BDH=∠BD´H,延长BE交DF于点H，
即有∠CDF+∠F=90°，∠CDF+∠DD´B=90°，∠D´BE=∠CDF
∴△DCF~△BHD
∴BD:DF=BC:CD=4:3
(3) 连接FG并延长交AD于点J,由旋转的性质知EA=EG,ED=EF，∠AEG=∠DEF=90，得∠AED=∠GEF
△EAD~△EGF，∠ADE=∠EFG
∠ADE+∠DIJ=∠EFI+∠EIF=90°,即GF⊥AD,得GF⊥BC
过点E作MN⊥AD于点N,易知AN=1，BM=2，易知△DEN~△EHM,
MH=6/7，得CH=22/7
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