中考复习第08讲 | 一元一次不等式（组）：性质变号+解法五步+整数解+方案设计（12题精练）

初中数学 · 中考一轮复习 · 第 08 讲

📌 本讲导读
不等式是中考性价比最高的一类送分题：选择题考性质辨析，填空题考解集，解答题考方案设计，合计约 10～14 分。三条主线：性质 3 是唯一会变号的（乘除负数）、解不等式五步与解方程几乎一样（只多一个变号检查）、不等式组靠口诀定解集（大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小无解）。含参整数解题一律画数轴定端点，实战题一律先找"至少、最多、不超过、不低于"这些关键词。

一、知识清单

1. 不等式的概念与三条基本性质
用 >、<、≥、≤、≠ 连接表示不等关系的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫解，所有解组成的集合叫解集。
性质1（加减不变号）：a>b ⇒ a±c>b±c；
性质2（乘除正数不变号）：a>b，c>0 ⇒ ac>bc，a/c>b/c；
性质3（乘除负数必变号）：a>b，c<0 ⇒ ac<bc，a/c<b/c。
⚠️ 判断变形对错只看一件事：两边乘或除的那个数（式）是正是负。c 的符号不确定时，结论就不一定成立。

2. 一元一次不等式与解法五步
三个条件同时满足：① 两边都是整式；② 只含一个未知数；③ 未知数最高次数是 1，且系数不为 0。
解法五步：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1。前三步与解方程完全一致，两个高危点：
① 去分母时不含分母的项也要乘最简公分母，分子是多项式要加括号；
② 系数化为 1 时若除以负数，不等号方向必须翻转——这是全讲第一大失分点。

3. 解集的数轴表示
口诀：大于向右、小于向左；有等号画实心点，无等号画空心圈。
x>3：3 处空心、向右；x≤3：3 处实心、向左。
⚠️ 考试要求"在数轴上表示解集"时，必须画出方向线，只点一个点不给分。

4. 一元一次不等式组
几个含同一未知数的一元一次不等式合起来就是不等式组；各解集的公共部分就是不等式组的解集。
口诀：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解。
形如 {x>a, x<b}：若 a<b 则 a<x<b（中间找）；若 a≥b 则无解——端点相等时也属于"取不了"。

5. 含参整数解：数轴定端点
求"恰有 n 个整数解"的参数范围，固定三步：① 解出含参解集 x≤k(m) 或 x≥k(m)；② 在数轴上标出这 n 个整数；③ 让端点卡在"最后一个整数"和"下一个整数"之间。
端点归属是唯一难点：解集带等号（≤）时，端点可以取到最后一个整数；不带等号（<）时端点必须严格小于下一个整数。写完代一个端点值回验最保险。

6. 实际应用：关键词翻译表
至少 / 不低于 / 不少于 ⇒ ≥；最多 / 不超过 / 不高于 ⇒ ≤；超过 ⇒ >；不足 ⇒ <。
解题六步：审 → 设 → 列 → 解 → 验（是否符合实际、是否取整）→ 答。
⚠️ 人数、件数、车辆数都是整数，解得 x≤13.3 要写成 x≤13，这一步不取整必扣分。

🔑 记忆卡：性质三变号，系数负翻向；实心含等号，空心不含；大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小无解；整数解画数轴，端点回代验。

二、题型精讲

题型一解不等式并在数轴表示（去分母 + 变号）
解不等式：(2x−1)/3 − (5x+1)/6 ≥ 1。
💡 思路：最简公分母是 6，右边的 1 也要乘 6（漏乘是本步第一大坑）。得 2(2x−1) − (5x+1) ≥ 6 ⇒ 4x−2−5x−1 ≥ 6 ⇒ −x−3 ≥ 6 ⇒ −x ≥ 9 ⇒ x ≤ −9。
最后一步两边同除以 −1，不等号由 ≥ 翻成 ≤。数轴：−9 处画实心点，向左画线。回验 x=−10：−7+? 原式左 = (−21)/3 − (−49)/6 = −7+8.17 = 1.17 ≥ 1 ✓。

题型二解不等式组并求整数解
解不等式组 { (x+1)/2 ≥ x−1；5x−2 > 3(x+1) }，并写出它的整数解。
💡 思路：分别解、再取交集。① 去分母：x+1 ≥ 2x−2 ⇒ x ≤ 3；② 去括号移项：5x−2 > 3x+3 ⇒ 2x > 5 ⇒ x > 2.5。
取交集：2.5 < x ≤ 3（大小小大中间找）。整数解只有 x=3。
⚠️ 别把 2.5 当整数端点写进答案；也别把 x≤3 写成 x<3，漏掉 3 就全错。

题型三方案设计（不等式组 + 取整 + 最值）
某班用不超过 1000 元的经费购买单价 20 元的笔记本和单价 35 元的钢笔共 40 件，要求钢笔不少于 10 支。问有几种购买方案？哪种方案费用最低，最低多少元？
💡 思路：设钢笔 x 支，则笔记本 (40−x) 本。
费用条件：35x + 20(40−x) ≤ 1000 ⇒ 15x + 800 ≤ 1000 ⇒ x ≤ 40/3 ≈ 13.3 ⇒ x ≤ 13（件数取整）；
数量条件：x ≥ 10。故 10 ≤ x ≤ 13，x 取 10、11、12、13，共 4 种方案。
费用 = 15x+800 随 x 增大而增大，所以 x=10 时最低：15×10+800 = 950 元（钢笔10支、笔记本30本）。
⚠️ 若题目改问"钢笔最多买几支"，答案是 13 而不是 13.3——取整方向永远是"往安全的一侧"。

三、考点速查表

四、巩固 12 题

1. 若 a > b，则下列不等式一定成立的是（　）
   A．a−3 < b−3　B．−2a > −2b　C．a/3 > b/3　D．ac > bc
2. 若 a < b，则下列变形错误的是（　）
   A．a+2 < b+2　B．a−5 < b−5　C．−3a < −3b　D．a/4 < b/4
3. 不等式 2x−3 > 5 的解集是______。
4. 不等式 −3x ≥ 9 的解集是______。
5. 不等式 (2x+1)/3 − (x−1)/2 ≤ 1 的解集是______。
6. 不等式组 {x−1 < 2；2x+1 ≥ 3} 的解集是______。
7. 不等式组 {3x−2 > 4；x−1 ≤ 3} 的整数解是______。
8. 若关于 x 的不等式 (m−2)x > m−2 的解集为 x < 1，则 m 的取值范围是______。
9. 若不等式组 {x > 2；x < a} 无解，则 a 的取值范围是______。
10. 若关于 x 的不等式 3x−m ≤ 2 恰有 3 个正整数解，则 m 的取值范围是______。
11. 某班用不超过 1000 元的经费购买单价 20 元的笔记本和单价 35 元的钢笔共 40 件，钢笔不少于 10 支，则有几种购买方案？最低费用是多少元？
12. 某校安排学生住宿，若每间住 4 人，则有 19 人没有床位；若每间住 6 人，则有一间宿舍不空也不满。求宿舍的间数。

五、逐题解析

1. C
   。A、B 都用了负数乘除却没变号，方向反了；D 中 c 的符号未知，c=0 时两边相等，c<0 时方向反转，所以不一定成立；C 两边同除以正数 3，方向不变 ✓。
2. C
   。C 两边同乘 −3，应得 −3a > −3b，题目写成 < 就是错的。A、B（性质1）、D（性质2，除以正数 4）都正确。⚠️ 只有乘除负数才变号，加减永远不变。
3. x > 4
   。移项 2x > 8，系数化 1 得 x > 4。数轴：4 处空心、向右。
4. x ≤ −3
   。两边同除以 −3，不等号由 ≥ 翻成 ≤，得 x ≤ −3。回验 x=−4：−3×(−4)=12 ≥ 9 ✓；x=−2：6 ≥ 9 ✗。
5. x ≤ 1
   。去分母（两边乘 6，含右边的 1）：2(2x+1) − 3(x−1) ≤ 6 ⇒ 4x+2−3x+3 ≤ 6 ⇒ x+5 ≤ 6 ⇒ x ≤ 1 ✓。
6. 1 ≤ x < 3
   。① x < 3；② 2x ≥ 2 ⇒ x ≥ 1。取交集得 1 ≤ x < 3（大小小大中间找）。端点 1 有等号画实心、3 无等号画空心。
7. 3、4
   。① 3x > 6 ⇒ x > 2；② x ≤ 4。故 2 < x ≤ 4，整数解为 3、4。⚠️ x=2 不取（无等号），x=4 要取（有等号），这是端点判断的典型考法。
8. m < 2
   。不等式两边同除以 (m−2) 后解集由">"变成"<"，说明除的是负数：m−2 < 0 ⇒ m < 2。⚠️ 若 m=2，原式变成 0 > 0，无解，故不能取等号。
9. a ≤ 2
   。{x>2, x<a} 要有公共部分必须 a>2；现在无解，说明 a 不超过 2，即 a ≤ 2。⚠️ a=2 时两解集"接不上"（x>2 与 x<2 无公共点），同样无解，等号必须带。
10. 7 ≤ m < 10
    。3x ≤ m+2 ⇒ x ≤ (m+2)/3。正整数解恰为 1、2、3，说明端点落在 3 与 4 之间：3 ≤ (m+2)/3 < 4 ⇒ 9 ≤ m+2 < 12 ⇒ 7 ≤ m < 10。回验：m=7 时 x ≤ 3，整数解 1,2,3 ✓；m=10 时 x ≤ 4，有 4 个，舍 ✓。
11. 4 种方案，最低 950 元
    。设钢笔 x 支、笔记本 (40−x) 本：35x+20(40−x) ≤ 1000 ⇒ 15x ≤ 200 ⇒ x ≤ 13.3 ⇒ x ≤ 13；又 x ≥ 10。故 10 ≤ x ≤ 13，共 4 种。费用 15x+800 随 x 增大而增大，x=10 时最低 950 元（钢笔 10 支、笔记本 30 本）。
12. 10 间、11 间或 12 间
    。设宿舍 x 间，学生 (4x+19) 人。最后一间"不空也不满"：0 < 4x+19 − 6(x−1) < 6 ⇒ 0 < −2x+25 < 6 ⇒ 19 < 2x < 25 ⇒ 9.5 < x < 12.5。x 为整数，取 10、11、12（对应学生 59、63、67 人）。回验 x=10：6 人住满 9 间剩 5 人住第 10 间，不空不满 ✓；x=12：前 11 间住 66 人，剩 1 人住第 12 间，不空不满 ✓。

🧠 方法速记卡
① 性质辨析：只看乘除的数正负——负变号，符号不明则结论不一定成立；
② 解法五步：去分母别漏乘、分子加括号、系数化 1 遇负数必翻向；
③ 数轴表示：大于向右、小于向左，有等号实心、无等号空心，方向线要画；
④ 不等式组：先各自解、再取交集，口诀"大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小无解"；
⑤ 含参整数解：解出含参解集 → 数轴标出 n 个整数 → 端点卡在最后整数与下一整数之间 → 端点回代验证；
⑥ 实际应用：关键词翻译成不等号，人数件数必取整，问"最低费用"再看一次单调性。

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