初一·整式加减的实际应用——图形周长与面积

学完整式的加减运算，很多同学会做纯代数化简题，但一遇到图形应用题就懵：周长和面积搞混、边长关系找错、去括号时符号出错。期中试卷里，整式的实际应用几乎是必考题，一道题6到8分。今天把整式加减在图形中的应用讲透，让你看到图形题不再慌。

一、整式在图形题里怎么用

整式的图形应用题，本质上就是把图形中的边长用含字母的代数式表示出来，然后根据周长或面积公式列出代数式，再化简。步骤可以记成三步：一看图（找出已知边长和未知边长的关系）、二列式（根据周长或面积公式列代数式）、三化简（去括号、合并同类项）。

最基础的就是长方形。长方形的周长等于2倍长加2倍宽，面积等于长乘宽。如果长和宽不是具体数字，而是含字母的代数式，那就把代数式代进去化简。

二、组合图形怎么算——割补法

考试常考的不是单个长方形，而是两个或多个长方形拼在一起、或者从大长方形里挖掉一个小长方形形成的组合图形（比如L形、十字形）。这类题的核心方法就是割补法。

算周长时，用平移线段的方法：把凹进去的边往外平移，很多组合图形的周长就等于外围大长方形的周长。比如L形，把横的短边往上移、竖的短边往右移，周长正好等于外围大长方形的周长，不用一条边一条边数。

算面积时，用补全法：先算外围大长方形的面积，再减去挖掉的小长方形面积。比如L形面积等于大长方形面积减去右上角挖掉的小长方形面积。这比把图形切成两个长方形再相加要简单，也不容易错。

三、高频易错点TOP4

易错点1：周长和面积公式用混。看到图形题先想清楚题目问的是周长还是面积。周长是所有边长的总和（用长度单位），面积是图形内部的大小（用面积单位）。很多同学题目问周长，结果列了面积的式子，整题6分全扣。

易错点2：去括号时符号出错。比如周长是2[(2a+3)+(a-1)]，去括号后变成2(3a+2)=6a+4。很多同学去中括号时漏乘或者符号错，写成6a+2或者6a+6。记住：括号前面是负号，去括号后每一项都要变号。

易错点3：组合图形周长多算或少算边。L形周长用平移法最保险。如果一条边一条边数，很容易漏掉凹进去的两条短边，或者重复计算。考试时先画箭头把要平移的边标出来，确认平移后等于外围大长方形周长再列式。

易错点4：代入求值时忘记加括号。比如长是(2a+3)，宽是(a-1)，当a=5时求周长。应该把a=5代入化简后的式子6a+4，得到34。如果代入原式2[(2a+3)+(a-1)]，括号里2a+3和a-1都要加括号，否则2a+3直接写成2乘5+3=13没错，但a-1直接写成5-1=4也没错，怕就怕前面有负号。

四、三道典型题目精练

典型题1（基础题，长方形周长面积）：一个长方形的长为(2a+3)厘米，宽为(a-1)厘米。（1）用代数式表示这个长方形的周长和面积；（2）当a=5时，求周长。

解析：（1）周长P=2[(2a+3)+(a-1)]=2(3a+2)=6a+4（厘米）。面积S=(2a+3)(a-1)=2a²-2a+3a-3=2a²+a-3（平方厘米）。（2）当a=5时，周长=6×5+4=34（厘米）。

易错提醒：面积展开时(2a+3)(a-1)要用多项式乘法，2a乘a得2a²，2a乘-1得-2a，3乘a得3a，3乘-1得-3，合并后-2a+3a=a。很多同学展开时漏掉交叉项，直接写成2a²-3，这是错的。另外注意周长单位是厘米，面积单位是平方厘米，答题时要写清楚。

典型题2（中档题，L形组合图形）：如图是一个L形图形，外围大长方形长为a、宽为b，右上角挖掉一个小长方形，小长方形的长为c、宽为d。用代数式表示这个L形的周长和面积。

解析：周长用平移法。把L形凹进去的横边往上平移、竖边往右平移，正好补成外围大长方形。所以周长P=2(a+b)，和大长方形周长一样。面积用补全法。大长方形面积是ab，挖掉的小长方形面积是cd，所以L形面积S=ab-cd。

易错提醒：周长用平移法最容易错的地方是，有些同学以为挖掉一块后周长会减少。实际上平移后你会发现，凹进去的两条边正好补上了大长方形缺的两条边，周长不变。但如果题目是两个长方形拼在一起（不是挖掉），周长就不是简单的2(a+b)了，要减去重合的两条边。考试时先想清楚是拼还是挖。

典型题3（技巧题，花坛小路面积）：一个长方形花坛，长为m米，宽为n米。在花坛四周修一条宽度为x米的小路。用代数式表示小路的面积。

解析：小路在花坛四周，宽x米，所以加上小路后，整个大长方形的长变成m+2x（左右各加x），宽变成n+2x（上下各加x）。大长方形面积是(m+2x)(n+2x)，花坛面积是mn，小路面积就是两者之差。展开后：(m+2x)(n+2x)-mn=mn+2mx+2nx+4x²-mn=4x²+2mx+2nx（平方米）。

易错提醒：最容易错的是忘记四周都加x，只加了一边，写成(m+x)(n+x)-mn。记住小路在四周，左右各x、上下各x，所以长和宽都要加2x。另外展开后mn会抵消，不要把mn也留在答案里。最后可以提取公因式写成2x(2x+m+n)，但写成4x²+2mx+2nx也是对的。

写在最后

整式的图形应用题，说到底就是看图列式加化简。周长用平移法，面积用补全法，去括号注意符号，代入求值先化简再代。这四步做到位，图形题就是送分题。

期中复习阶段，建议找3到5道组合图形题练手，重点练L形和小路问题。考试时先画图，把已知边长标上去，再列式，不要凭空想。养成先画图的习惯，能少丢很多冤枉分。