中考总复习 第14讲:二次函数——图象与性质
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中考总复习 第14讲:二次函数——图象与性质
二次函数是中考压轴题的常客，但万变不离其宗——一个式子，对应一张抛物线。本讲把图象与性质一次讲透：三种解析式、开口与顶点、a,b,c 符号判断、增减性与最值。
① 一般式 y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）② 顶点式 y = a(x − h)2 + k → 顶点 (h, k)，对称轴 x = h③ 交点式 y = a(x − x₁)(x − x₂) → 与 x 轴交点 (x₁, 0)、(x₂, 0)一般式 → 顶点式用配方法；顶点式、交点式 → 一般式用展开。看到顶点或交点，优先用顶点/交点式，省一半计算。
例：y = x2 − 4x + 3 = (x − 2)2 − 1顶点 (2, −1)，对称轴 x = 2。抛物线的"长相"由 a 决定，位置由对称轴和顶点决定。
抛物线 y = ax²+bx+c：a>0 开口向上、顶点是最低点；对称轴两侧增减相反
开口：a > 0 向上，a < 0 向下；|a| 越大，抛物线越窄。对称轴：x = −b / (2a)。顶点：(−b/(2a), (4ac − b2)/(4a))，或直接从顶点式读出 (h, k)。顶点是抛物线的转折点：a > 0 时是最低点（函数有最小值），a < 0 时是最高点（函数有最大值）。
给一张抛物线图象，要能立刻说出 a、b、c 的正负，以及判别式 Δ 的符号。这是中考选择题高频考点。
由图象定符号：开口向上→a>0；对称轴在右→b<0；交y轴正半轴→c>0；两x轴交点→Δ>0
a：看开口方向（上正下负）。b：看对称轴位置——"左同右异"：a、b 同号 → 轴在 y 轴左侧；异号 → 轴在右侧。c：看与 y 轴交点纵坐标（正半轴 c > 0，负半轴 c < 0，过原点 c = 0）。Δ = b2 − 4ac：看与 x 轴交点个数（两交 Δ>0，一交 Δ=0，无交 Δ<0）。进阶技巧：把 x = 1 代入，得 a + b + c = 图象上 (1, ?) 的纵坐标；x = −1 代入得 a − b + c。常用来判断 a+b+c、a−b+c 的符号。
a > 0：对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧增大（顶点处最小）。a < 0：对称轴左侧 y 随 x 增大而增大，右侧减小（顶点处最大）。不在顶点处时，离对称轴越远，函数值偏离最值越大。给定 x 的取值范围，最值往往出现在顶点或区间端点。
y 轴交点只有一个：令 x = 0，得 (0, c)。x 轴交点令 y = 0，即解方程 ax2 + bx + c = 0，由 Δ 决定个数（0、1、2 个）。
两交点 x₁、x₂ 满足韦达定理：x₁ + x₂ = −b/a，x₁x₂ = c/a。这对数形结合和综合题极有用。求 y = x2 − 4x + 3 的顶点、对称轴与最值。
y = (x − 2)2 − 1 → 顶点 (2, −1)，对称轴 x = 2。a > 0，最小值为 −1。如图（开口向上、对称轴在右、交 y 轴正半轴、与 x 轴两交点），判断 a、b、c、abc、b2−4ac 的正负。
a > 0，b < 0，c > 0；abc < 0；Δ > 0。求 y = x2 − 3x + 2 与坐标轴的交点。
y 轴：(0, 2)。x 轴：x2 − 3x + 2 = 0 → (x − 1)(x − 2) = 0 → 交点 (1, 0)、(2, 0)。求 y = −2x2 + 4x + 1 的最大值。
y = −2(x − 1)2 + 3，a < 0，最大值为 3（x = 1 时）。练习1：y = 2x2 − 8x + 5 配方，写出顶点与对称轴。
练习2：抛物线开口向下、对称轴在 y 轴左侧、过原点，判断 a、b、c 符号。
练习3：y = x2 + x − 6 与 x 轴交点坐标？x₁ + x₂、x₁x₂ 各是多少？
练习4：y = −x2 + 2x 的最值是多少，何时取得？
1. y = 2(x − 2)2 − 3，顶点 (2, −3)，对称轴 x = 2。2. a < 0；对称轴在左 → a,b 同号 → b < 0；过原点 → c = 0。3. (x + 3)(x − 2) = 0 → 交点 (−3, 0)、(2, 0)；x₁ + x₂ = −1，x₁x₂ = −6。4. y = −(x − 1)2 + 1，最大值 1（x = 1 时）。图象与性质一句话收口：a 定开口、对称轴定 b 的相对符号、c 定 y 轴交点、顶点定最值。把这张"由图读参"的能力练熟，下一讲二次函数综合应用就不慌了。
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