第12天·2024新高考I卷·数列通项与求和

四季读书网 2026-10-21 07:05:56 6 0

来源：2024年新课标全国I卷·第17题（改编）

　　考点：等比数列通项、裂项相消求和

　　分值：12分

　　建议用时：12-15分钟

　　难度：⭐⭐⭐

　　题目

　　已知数列{aₙ}满足a₁=2，aₙ₊₁=2aₙ（n∈N*）。

　　（1）求数列{aₙ}的通项公式；

　　（2）设bₙ=1/[log₂(aₙ)·log₂(aₙ₊₁)]，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。

　　手写区

　　（请先独立完成，再往下翻看解析）

　　解析

　　第（1）问：求通项公式

　　第一步：判断类型

　　aₙ₊₁=2aₙ，这是等比数列的定义式，公比q=2。

　　第二步：写通项

　　首项a₁=2，公比q=2。

　　aₙ=a₁·qⁿ⁻¹=2·2ⁿ⁻¹=2ⁿ。

　　第三步：验证

　　n=1时，2¹=2=a₁✅。

　　n=2时，2²=4，由原式a₂=2×2=4✅。

　　第（1）问答案：aₙ=2ⁿ。

　　第（2）问：求Tₙ

　　第一步：写出bₙ的表达式

　　设bₙ=1/[log₂(aₙ)·log₂(aₙ₊₁)]。

　　log₂(aₙ)=log₂(2ⁿ)=n。

　　log₂(aₙ₊₁)=log₂(2ⁿ⁺¹)=n+1。

　　所以bₙ=1/[n(n+1)]。

　　第二步：裂项

　　1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)。

　　第三步：求和

　　Tₙ=b₁+b₂+…+bₙ

　　=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/n-1/(n+1))

　　=1-1/(n+1)

　　=n/(n+1)。

　　第四步：验证

　　n=1时，T₁=b₁=1/(1×2)=1/2。

　　公式：1/(1+1)=1/2✅。

　　第（2）问答案：Tₙ=n/(n+1)。

　　易错点提醒

　　第一个坑：第（1）问忘记写首项。

　　aₙ=2ⁿ是从a₁=2出发的，如果首项写错，整个通项都会错。

　　第二个坑：第（2）问对数运算出错。

　　log₂(2ⁿ)=n，不是2n。log₂(2ⁿ⁺¹)=n+1，不是2n+1。

　　第三个坑：裂项时系数漏掉。

　　1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)，系数为1，不需要乘任何数。但如果分母是(2n-1)(2n+1)，系数就是1/2。

　　第四个坑：求和后忘记验证n=1。

　　求出Tₙ=n/(n+1)后，代入n=1验证是否等于b₁。

　　真题规律总结

　　2024新高考I卷的数列题考查的是“等比数列通项”和“裂项相消求和”。本题的设计思路是：先通过等比数列求通项，再利用对数运算将bₙ转化为1/[n(n+1)]的形式，最后裂项相消。

　　关键得分点：第（1）问的等比数列通项；第（2）问的对数运算、裂项公式、求和。

　　备考建议：裂项相消的典型形式是1/[n(n+k)]=1/k·[1/n-1/(n+k)]。看到分母是两项乘积，先判断两项之差是否为常数，如果是，就可以裂项。

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