STEP 1

弦相等 ⇒ 弦心距相等 ⇒ 角平分线

过 O 作 OG ⊥ AB 于 G、OZ ⊥ CD 于 Z。由垂径定理，AG = ½AB、CZ = ½CD；已知 AB = CD，所以 AG = CZ。

再看 Rt△OAG 与 Rt△OCZ：斜边 OA = OC（同圆半径），直角边 AG = CZ，由 HL 得两三角形全等 ⇒ OG = OZ。

O 到 ∠APC 两边的距离相等，由角平分线的判定，OP 平分 ∠APC，即 ∠APO = ∠CPO。

⇒ 「弦相等」不要停在弦上，立刻换成「弦心距相等」，角平分线就出来了

STEP 2

等腰出等角，补角搬位置

已知 PO = HO ⇒ △POH 是等腰三角形 ⇒ ∠OPH = ∠OHP。

H 在 CD 上、P 是 AB 与 CD 的交点，所以 ∠CPO 就是 ∠OPH。代入 ① 的结论 ∠APO = ∠CPO，得 ∠APO = ∠OHP。

两边各取补角：∠APO 与 ∠BPO 互补（A、P、B 共线），∠OHP 与 ∠BHP 互补（O、H、B 共线），于是 ∠BPO = ∠BHP。

再加上公共角 ∠PBO（即 ∠HBP），得 △BPH ∽ △BOP。

⇒ 本题的相似不是「看出」来的，是被「等腰 + 两次补角」推出来的

STEP 3

比例式一次解出 BH 与 PH

相似给出 BP : BH = BO : BP = PO : PH。AQ = 4 ⇒ 半径 BO = 2，又 BP = 1，所以 BH = BP²/BO = ½，PH = PO · BP/BO = ½ PO。

H 在 OB 上，OH = OB − BH = 2 − ½ = 3/2；而题设 PO = HO，所以 PO = 3/2。

代回得 PH = ½ × 3/2 = 3/4。

⇒ 顺序别乱：先用相似把 BH、PH 都写成 PO 的式子，再用 OH 的长度反解 PO

答案

(1)① 作弦心距 OG、OZ ⇒ AG = CZ ⇒ Rt△OAG ≅ Rt△OCZ ⇒ OG = OZ ⇒ OP 平分 ∠APC，即 ∠APO = ∠CPO

(1)② PH = 3/4

(2) PE/EA = √2/3（过程见下面的「练习」）

① 别拿「OP ⊥ AC」当已知

第 ① 问证的是角平分线，不是垂直。垂径定理要求「过圆心且垂直于弦」，这里 OP 只满足一半，直接写 OP ⊥ AC 是跳步（第 (2) 问里 OP ⊥ AC 成立，但要用 PA = PC 另证一次）。

② 补角要成对地取

∠APO 与 ∠BPO 互补、∠OHP 与 ∠BHP 互补，两对都要取，才能把 ∠APO = ∠OHP 变成 ∠BPO = ∠BHP。只取一边，相似就凑不出来。

③ 公共角是 ∠OBP，不是 ∠BOP

对应关系一旦写反，比例式 BP : BH = BO : BP 会变成 BP : BH = BP : BO，算出来的 BH 就不对。写相似式前先按「小角对小角、大角对大角」把字母对齐。

④ 别忘了用 OH 反解 PO

相似只能给出 PH = ½PO，PO 是多少要靠 OH = OB − BH = 3/2 和题设 PO = HO 一起定。漏这一步，答案会停在「PH = 半个 PO」。

题目

如图 3（题图 3），连接 PQ、AC 交于点 E，线段 AP 上有一点 F 使得 PF = 4AF。若 PE = QE，∠PEA = ∠PFQ，求 PE/EA 的值。

先补一条本题要用的结论：由 AB = CD 及相交弦定理 PA·PB = PC·PD，而 PA + PB = AB = CD = PC + PD，所以 PA、PB 与 PC、PD 是同一对数；结合 D 在弧 AB 上、C 在另一侧的位置，得 PA = PC。

思路

① ① 找相似：∠PEA = ∠PFQ（已知），∠APE = ∠FPQ（E 在 PQ 上、F 在 AP 上，是同一个角）⇒ △PEA ∽ △PFQ ⇒ PA : PQ = PE : PF。

② ② 设元：设 AF = m，则 PF = 4m、PA = 5m；PE = QE ⇒ PQ = 2PE。代入得 5m : 2PE = PE : 4m ⇒ PE² = 10m²，PE = √10 m。

③ ③ 用 PA = PC 定垂直：PA = PC 且 OA = OC，所以 P、O 都在 AC 的垂直平分线上 ⇒ OP ⊥ AC。设 K = OP ∩ AC，则 K 是 AC 的中点。

④ ④ 找重心：在 △APQ 中，E 是 PQ 的中点 ⇒ AE 是中线；O 是 AQ 的中点 ⇒ PO 也是中线。两中线交于 K，故 K 是 △APQ 的重心，从而 AK = 2KE，AE = 3KE。

⑤ 双重勾股：Rt△PKE 与 Rt△PKA 共用直角边 PK，设 KE = k：PE² − k² = PK² = PA² − (2k)²，即 10m² − k² = 25m² − 4k² ⇒ k = √5 m。

⑥ 收口：AE = 3k = 3√5 m，PE = √10 m ⇒ PE/EA = √10/(3√5) = √2/3。

⇒ PE/EA = √2/3 ≈ 0.471 —— 关键不是「重心」这个名词，而是它把 AK = 2KE 这个比例白送给你

变式 1 把结论倒过来：给角平分线，证两弦相等

条件同原题（沿用题图 1）。已知两弦 AB、CD 交于圆内一点 P，且 OP 平分 ∠APC。求证：AB = CD。

思路：反着用角平分线的性质 —— 作 OG ⊥ AB、OZ ⊥ CD，OP 平分 ∠APC ⇒ OG = OZ（角平分线上的点到两边距离相等）。再由勾股：½AB = √(R² − OG²)，½CD = √(R² − OZ²)，两式右边相等 ⇒ AB = CD。

⇒ AB = CD

变式 2 换数值：AQ = 6、PB = 2，其余不变

条件同 (1)②（沿用题图 2），只把 AQ 改成 6、PB 改成 2，仍有 PO = HO。求 PH。

思路：半径 BO = 3。△BPH ∽ △BOP 仍成立 ⇒ BH = BP²/BO = 4/3，PH = PO·BP/BO = ⅔PO。又 OH = BO − BH = 3 − 4/3 = 5/3 = PO，故 PH = ⅔ × 5/3 = 10/9。

⇒ PH = 10/9

变式 3 换比例：PF = 3AF 时，PE/EA 是多少

条件同第 (2) 问（沿用题图 3），只把 PF = 4AF 改成 PF = 3AF，其余不变。求 PE/EA。

思路：设 AF = m ⇒ PF = 3m、PA = 4m。△PEA ∽ △PFQ ⇒ PA : PQ = PE : PF，即 4m : 2PE = PE : 3m ⇒ PE² = 6m²，PE = √6 m。重心仍给 AK = 2KE，设 KE = k、AE = 3k：6m² − k² = 16m² − 4k² ⇒ 3k² = 10m² ⇒ k = √(10/3) m。于是 PE/EA = √6 / (3√(10/3)) = √5/5。

⇒ PE/EA = √5/5 ≈ 0.447

看到「圆内两条等长的弦交于一点」，第一反应就该是弦心距：它一句话同时递给你「角平分线」和「交点两侧的段相等」。计算部分则全部落在相似与勾股上 —— 第 (1)② 靠一对共边相似，第 (2) 问靠重心把 AK = 2KE 送过来，再用两次勾股收口。

⇒ 等弦 ⇒ 等弦心距 ⇒ 角平分线；等腰 + 补角 ⇒ 共边相似；重心 ⇒ AK = 2KE。