1 一、选择题
1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（1）
已知当 时， 与 是等价无穷小，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（C）
知识点：
- 三角函数恒等变换
- 等价无穷小
- 无穷小阶数的判定
解析：
由三倍角公式
可得
当 时，，所以
因此 ，选（C）。
（2）
已知 在 处可导，且 ，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（B）
知识点：
- 导数的定义
- 函数在一点可导的局部性质
- 极限的四则运算
解析：
由 ，原极限可写为
当 时，。根据导数的定义，
故原极限为
选（B）。
（3）
函数 的驻点个数为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（C）
知识点：
- 对数函数与绝对值函数的求导
- 驻点的定义
- 一元二次方程求根
解析：
函数的定义域为
在定义域内，
令 ，得
所以
两个根分别位于 与 内，均属于定义域，因此共有 个驻点，选（C）。
（4）
微分方程 的特解形式为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（C）
知识点：
- 二阶常系数非齐次线性微分方程
- 特征根与齐次通解
- 待定系数法中的共振处理
解析：
对应齐次方程的特征方程为
其特征根为 与 。右端的 和 均与齐次方程的解重复，且相应特征根均为单根，因此试探特解需分别乘以 ：
故选（C）。
（5）
设函数 均有二阶连续导数，满足 ，且 ，则函数 在点 处取得极小值的一个充分条件是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（A）
知识点：
- 二元函数的驻点
- 二元函数极值的充分条件
- Hessian 矩阵及其正定性
解析：
由
以及 ，可知 是驻点。
在 处，二阶偏导数为
取得极小值的一个充分条件是
由于 ，要使 ，需 ；又因为 ，要使 ，需 。故选（A）。
（6）
设 ，，，则 的大小关系是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（B）
知识点：
- 基本初等函数的单调性
- 定积分的保序性
- 广义积分的敛散性
解析：
当 时，
由于对数函数在 上严格递增，故
上述三个积分在 附近均收敛，因此由定积分的保序性可得
故选（B）。
（7）
设 为 阶矩阵，将 的第 列加到第 列得矩阵 ，再交换 的第 行与第 行得单位矩阵，记
，，
则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（D）
知识点：
- 初等列变换与矩阵右乘
- 初等行变换与矩阵左乘
- 初等矩阵及其逆矩阵
解析：
将 的第 列加到第 列，相当于右乘 ，故
交换 的第 、第 行，相当于左乘 ，由题意
由于 ，所以
从而
故选（D）。
（8）
设 是 阶矩阵， 为 的伴随矩阵，若 是方程组 的一个基础解系，则 的基础解系可为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**答案：**（D）
知识点：
- 齐次线性方程组的基础解系
- 矩阵的秩与零空间维数
- 伴随矩阵的秩
- 伴随矩阵恒等式
解析：
由题意， 的基础解系只含一个向量，故
从而 。又
即 。
因为 ，所以 ，并且
因此 的基础解系含 个线性无关向量。
由伴随矩阵恒等式
可知， 的每个列向量都是 的解。又因为 且 ，所以 线性无关。它们构成所求方程组的一个基础解系，故选（D）。
2 二、填空题
9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上。
（9）
答案：
知识点：
- 型未定式
- 重要极限
- 对数化方法
解析：
设
两边取对数，得
因此
（10）
微分方程 满足条件 的解为
答案：
知识点：
- 一阶线性微分方程
- 积分因子法
- 初始条件与特解
解析：
方程的积分因子为 。方程两边同乘 ，得
即
积分得
所以
由 ，得 。故
（11）
曲线 的弧长
答案：
知识点：
- 变上限积分函数的导数
- 平面曲线的弧长公式
- 正割函数的积分
解析：
由变上限积分求导公式，
因此曲线的弧长为
（12）
设函数
，其中 ，则
答案：
知识点：
- 广义积分
- 分部积分法
- 指数函数积分
解析：
由函数的分段定义，
分部积分得
（13）
设平面区域 由直线 ，圆 及 轴围成，则二重积分
答案：
知识点：
- 二重积分的极坐标变换
- 极坐标下积分区域的确定
- 换元积分法
解析：
在极坐标下，
圆 化为
由直线 与 轴确定角度范围，区域 可表示为
所以
（14）
二次型 的正惯性指数为
答案：
知识点：
- 二次型的矩阵表示
- 实对称矩阵的特征值
- 二次型的惯性指数
解析：
二次型对应的实对称矩阵为
其特征多项式为
故特征值为 。其中正特征值有 个，所以二次型的正惯性指数为
3 三、解答题
15～23 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分 10 分）
已知函数
，
设 ，试求 的取值范围。
知识点：
- 变上限积分函数
- 洛必达法则
- 等价无穷小
- 对数函数与幂函数增长速度的比较
解析：
先考察 的情形。由于
所以
于是
要使该极限为 ，必须且只需
再考察 的情形。要使分母 ，首先需 。此时可用洛必达法则：
当 时，任意正幂函数的增长速度快于对数函数，故上式等于 ；当 时，上式趋于 ；当 时，分母趋于 ，上式也不可能趋于 。因此必须且只需
综合两端的条件，得
（16）（本题满分 11 分）
设函数 由参数方程
确定，求 的极值和曲线 的凹凸区间及拐点。
知识点：
- 参数方程所确定函数的一阶、二阶导数
- 函数极值的判定
- 曲线凹凸性与拐点
解析：
因为
所以 在 上严格递增，参数 与自变量 的变化方向一致。由参数方程求导公式，
令 ，得 。当 由小于 变为大于 时，一阶导数由正变负，故 对应极大值点：
极大值为 。当 经过 时，一阶导数由负变正，故 对应极小值点：
极小值为 。
令 ，得 ，对应
当 时，；当 时，。由于 ，所以曲线的凸区间为
凹区间为
拐点为
（17）（本题满分 9 分）
设函数 ，其中函数 具有二阶连续偏导数，函数 可导且在 处取得极值 ，求 。
知识点：
- 多元复合函数的偏导数
- 二阶混合偏导数
- 可导函数取得极值的必要条件
解析：
令
由于 在 处可导并取得极值，故
先对 求偏导，得
再对 求偏导：
当 时，，并且 。又因 具有二阶连续偏导数，，所以
（18）（本题满分 10 分）
设函数 具有二阶导数，且曲线 与直线 相切于原点，记 为曲线 在点 处切线的倾角，若 ，求 的表达式。
知识点：
- 切线倾角与导数的关系
- 可降阶微分方程
- 可分离变量微分方程
- 初始条件
解析：
曲线与直线 相切于原点，因此
由切线倾角的定义，
故可取 。于是
由题设条件可得
令 ，则
分离变量并积分：
由 ，并取初始点附近的正支，得
再次积分，有
由 ，得 。故
其包含初始点的定义区间应满足
（19）（本题满分 10 分）
（I）证明：对任意的正整数 ，都有 成立。
（II）设 ，证明数列 收敛。
知识点：
- 拉格朗日中值定理
- 不等式证明
- 单调有界数列的收敛准则
- 对数的运算性质
解析：
（I）对函数
在区间 上应用拉格朗日中值定理，存在
使得
由
可得
（II）由（I）的左侧不等式，
故 单调递减。
另一方面，
当 时，由（I）的右侧不等式，
因此
又 ，所以 有下界。由单调有界准则，数列 收敛。
（20）（本题满分 11 分）
一容器的内侧是由曲线绕 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 与 连接而成。
（I）求容器的容积；
（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？长度单位为 ，重力加速度为 ，水的密度为 。
知识点：
- 旋转体体积的微元法
- 定积分的物理应用
- 变力做功
- 分段函数与分段积分
解析：
容器顶部位于 。当 时，截面圆的半径平方为
当 时，截面圆的半径平方为
（I）容器的容积为
（II）高度为 、厚度为 的水平薄层被抽到容器顶部时，上升距离为 。水的重度为 ，故至少需要做的功为
其中
所以
（21）（本题满分 11 分）
已知函数 具有二阶连续偏导数，且 ，，，其中 。计算二重积分
。
知识点：
- 二重积分化为累次积分
- 定积分的分部积分法
- 二阶混合偏导数
- 边界条件的应用
解析：
由 ，对 求导可得
同理，由 可得
将二重积分写为累次积分：
先对 分部积分，得
因此
再对 分部积分：
其中使用了 。故
（22）（本题满分 11 分）
设向量组
，，，
不能由向量组
，，
线性表示。
（I）求 的值；
（II）将 由 线性表示。
知识点：
- 向量组的线性表示
- 向量组的秩
- 行列式与向量组线性相关性
- 线性方程组的求解
解析：
（I）先考察向量组 ：
因此该向量组线性无关，是 的一组基。
题设向量组 不能由 线性表示，说明后一个向量组不能张成 ，故其行列式必须为 ：
所以
此时
而 线性无关，故该向量组的秩为 ，确实不能线性表示 中的任意向量。
（II）分别求解相应的坐标方程，得到
（23）（本题满分 11 分）
为三阶实对称矩阵， 的秩为 ，即 ，且
。
（I）求 的特征值与特征向量；
（II）求矩阵 。
知识点：
- 矩阵的特征值与特征向量
- 实对称矩阵不同特征值对应特征向量的正交性
- 矩阵的秩与零特征值
- 实对称矩阵的正交对角化
解析：
（I）令
由已知矩阵等式的两列分别相等，得
因此 与 是 的两个特征值，对应的全部特征向量分别为
以及
因为 ，所以 的零空间维数为 ，从而第三个特征值为 。又因为 是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交。与 均正交的非零向量可取
故特征值 对应的全部特征向量为
（II）将上述特征向量单位化：
令
则 为正交矩阵，且
因此