【一】如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，求AF的最小值.

【解析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．

解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，

如图，设DM＝x，

在Rt△CDM中，

CM=√3/3DM=√3/3x，

而EM+√3/3x＝2，

∴EM=-√3/3x+2，

∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，

∴ED＝EF，∠DEF＝90°，易得△EDM≌△FEN，

当D在BC上时，∴DM＝EN＝x，EM＝NF=-√3/3x+2，

在Rt△AFN中，AF²＝（-√3/3x+2）²+（2+x）²

＝4/3【x+（3-√3/2）】²+4+2√3，

此时AF²没有最小值，

当D在BC的延长线上时，

∴DM＝EN＝x，EM＝NF=√3/3x+2，

在Rt△AFN中，AF²＝（√3/3x+2）²+（2﹣x）²

＝4/3（x-√3/3）²+4+2√3，

当x=3-√3/2时，AF²有最小值4+2√3，

∴AF的最小值为√（4+2√3）=√3+1.

【二】如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，求DF的最小值．

【解析】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF＝GE．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．

解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．

∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，

∴CD＝CG=1/2AB＝6，∠ACD＝60°，

∵∠ECF＝60°，

∴∠FCD＝∠ECG．

在△FCD和△ECG中，FC=EC，∠FCD＝∠ECG，DC=GC，

∴△FCD≌△ECG（SAS），

∴DF＝GE．

当EG∥BC时，EG最小，

∵点G为AC的中点，

∴此时EG＝DF=1/2CD=1/4BC＝3．

【三】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转90°得到P₁，连CP₁的最小值三多少.

【解析】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．

解：如图，过点P′作P′E⊥AC于点E，

则∠A＝∠P′ED＝90°，

由旋转可知：

DP＝DP′，∠PDP′＝90°，

∴∠ADP＝∠EP′D，

∴△DAP≌△P′ED（AAS）

∴P′E＝AD＝2，

∴当AP＝DE＝2时，DE＝DC，即点E与点C重合，

此时CP′＝EP′＝2

∴线段CP′的最小值为2．

【四】如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，则点D在运动过程中ME的最小值是多少．

【解析】本题考查了轨迹，解决本题的关键是综合运用旋转的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识．

解：如图，

连接BE，过点M作MG⊥BE的延长线于点G，

过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，

∵等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，

∴∠B＝45°，

∴∠K＝45°，

∴△AKB是等腰直角三角形．

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴∠KAD+∠DAB＝∠BAE+∠DAB＝90°，

∴∠KAD＝∠BAE，

在△ADK和△AEB中，

AD=AE，∠KAD＝∠BAE，AK=AB

∴△ADK≌△AEB（SAS），

∴∠ABE＝∠K＝45°，

∴△BMG是等腰直角三角形，

∵AC＝BC＝4，

∴AB＝4√2，

∵M为AB中点，

∴BM＝2√2，

∴MG＝BG＝2，∠G＝90°，

∴BM＞MG，

∴当ME＝MG时，ME的值最小，

∴ME＝BE＝2．