小满锦囊 · 第 9 期 ｜ 高中数学 · 导数
孩子求导，为什么总「少写一半」？
导数第二课：两个口诀，把漏掉的那一半补回来。
一、 两个「少写一半」的场面
上一期说完公式，这一期说方法。陪孩子做导数题，这两种场面你多半见过——
第一种。式子是 x 和 ln x 相乘，孩子提笔写完 ln x 就翻下一题了。老师批：少了一项。后面那个 ln x 也要求导，还得乘上前面的 x。
第二种。sin 2x 求导，孩子写 cos 2x，看着挺像回事。老师又划掉：少乘了一个 2。
你发现没有——这两次都不属于「公式没背下来」。8 个公式孩子背得滚瓜烂熟，可一动笔，还是只做了一半。缺的不是记忆，是动作的顺序。这一期，就把这两套动作讲清楚。
后面那个 2 呢？——里面那层，还得再求一次
二、 第一条口诀：前导后不导
两个函数相乘，求导要「各求各的，再拼起来」。老师课上念了口诀：
前导后不导 ＋ 后导前不导
[f(x)·g(x)]′ = f′(x)·g(x) + f(x)·g′(x)
前半段：前面求导、后面保持原形；后半段：前面不动、后面求导
拿开头那道题走一遍。x 乘 ln x：前导——x 求导是 1，后不导——抄下 ln x，得 ln x；后导——ln x 求导是 1/x，前不导——抄下 x，x 乘 1/x 是 1。两项相加：
(x·ln x)′ = ln x + 1
孩子漏掉的，就是后半段的那个 1。
两个函数相除，也有一句口诀：
分母平方，上导下不导 − 下导上不导
[f(x)/g(x)]′ = [f′(x)·g(x) − f(x)·g′(x)] / g²(x)
g(x) ≠ 0；分子中间是减号，分母是「下面的平方」
老师现场做了 ln x 除以 x：先写分母 x²；上导 1/x 乘下不导的 x，得 1；中间减号；下导 1 乘上不导的 ln x；合起来：
(ln x / x)′ = (1 − ln x) / x²
他特意叮嘱两处最容易错：分子中间是减号，不是加号；分母是平方，不是照抄。
三条法则、两个口诀：背的是动作顺序，不是符号
三、 第二条口诀：外导乘内导
第二种「少写一半」，出在更隐蔽的地方——函数里面还套着函数。sin 2x，外面是 sin，里面藏着个 2x。孩子的错误写法是：
×只算了外面： (sin 2x)′ = cos 2x
老师给的办法是三步，原话是：「先回忆它长得很像哪个公式，整体求导，再把不一样的地方求导，乘在一起。」
第一步，找相似。sin 2x 和 sin x 就差一处——x 换成了 2x。
第二步，求整体。把 2x 整个当成一个「新变量」，套 sin 的公式，得 cos(2x)。到这一步，孩子做的都是对的。
第三步，补内层。不一样的那一块 2x，自己也要求一次导——(2x)′ = 2。把两个导数乘起来：
(sin 2x)′ = cos(2x) × 2 = 2cos 2x
孩子丢的，就是最后乘上去的那个 2。
老师用三个函数把这套动作练了三遍，一个比一个深：
y = ln(2x + 3) → 1/(2x+3) × 2 = 2/(2x+3)
y = (x + 2)² → 2(x+2) × 1 = 2(x+2)
注意第三个：内层 x+2 的导数恰好是 1，乘上去等于没乘——所以这一类题错了也看不出来。可一旦内层是 2x、2x+3，漏乘立刻现形。考场上，越看不见的坑越要防。
找相似 → 求整体 → 补内层：复合函数的三步
四、 先化简，再求导
方法篇还有最后一个动作，老师叫它「能先计算先计算」。有些式子硬求导会很惨，先变个形，就变简单了。
比如 sin 二分之 x 乘 cos 二分之 x——用乘法口诀硬算，又长又容易错；但认出它是二倍角的一半，先化成 ½sin x，求导只剩一步。再比如根号——公式表里根本没有根号，先把 √(2x−1) 写成 (2x−1) 的二分之一次方，再套复合三步。
还有 (x−1)² 这种，先展开成 x² − 2x + 1，普通加减法就做完了，根本用不上复合。
一句口诀：能先算的先算，算不动再求导。求导本身不难，难的是把一个能简化的式子硬着头皮往下算。
五、 再看两道真题
一道考「乘积法则」，一道考「复合函数」——正好把这一期两个口诀各验一遍。
真题1 · 2019 全国Ⅰ卷 · 第 13 题
曲线 y = 3(x² + x)eˣ 在点 (0, 0) 处的切线方程为＿＿＿。
答案：y = 3x ——乘积法则完整走一遍：前导后不导得 3(2x+1)eˣ，后导前不导得 3(x²+x)eˣ，相加是 3(x²+3x+1)eˣ。代入 x=0，斜率 3，切线 y = 3x。官方解析里专门点了一句：「本题易因为导数运算法则掌握不熟导致计算错误」——说的就是漏后半段。
真题2 · 2018 全国Ⅱ卷
曲线 y = 2ln(x + 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为＿＿＿。
答案：y = 2x ——外层是 ln，整体求导得 2/(x+1)；内层 x+1 求导是 1，乘上去不变。代入 x=0，斜率 2，切线 y = 2x。这道题内层导数恰好是 1，若换成 y = 2ln(2x+1)，漏乘 2 的孩子当场就错。
两道放在一起看：高考考的不是「会不会公式」，是「动作做全没做全」。
六、 麻烦转给孩子
这一期两个口诀：相乘，「前导后不导」；套着，「外导乘内导」。再加一个习惯：能先化简的，先化简再求导。
前导后不导，外导乘内导
下期是「实战篇」：2 道判断题、10 道求导计算、1 道切线综合——把公式和方法全部用一遍，每一道都拆开看老师的思路。
麻烦你转给孩子看一眼，尤其是那句「不一样的那块，求导了吗」。
七、 资料分享
这期讲：《导数的运算与切线》高考真题专项训练30题
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