初二几何这道坎:汉滨初中八年级月考 24 题全拆解

四季读书网 2026-10-17 11:53:33 6 0

汉滨初中八年级数学月考卷 · 任老师全卷精讲

汉滨初中 · 八年级上 · 月考 · 满分 120 分 · 120 分钟 · 全等三角形单元

八年级月考全拆解

24 题逐题拆开｜考点 · 概念 · 易错点 · 分层卡点 · 破题角度 · 一题多解 · 最优解

任任老师 · 16 年初高中一线（安康本地13年）

任老师按这套卷子我看了三遍。第一遍当学生，卡时间做，摸得分结构；第二遍当命题人，逐题想"他考什么、坑在哪、分哪层"；第三遍当你们的总教练，看哪几道题是"一分钱掰成两半花"的性价比之战。24 题全部拆开：考点、概念、易错点、分层卡点、破题角度，中高档题配一题多解和任老师最优解法，题题配思维点拨。基础生看"补"，中等生看"断"，冲优生看"坑"——对号入座，各取所需。

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写在前面：为什么很多初二孩子数学掉队

初一抓习惯，初二练能力。初二是初中知识难度陡增的一年，在整个中考中知识比重占到 40% 左右。初二如果学习习惯不好，就会陷入很被动的局面，节奏就会被打乱。

初二几何，本质就是在初一的线段、角、平行线基础上，把生活里的因果逻辑，转化成数学严谨证明。

初一学的是：认识图形、算角度、识别平行，侧重观察和计算；到初二，开始要求写推理过程——每一步都要有依据，"因为…所以…"像铁链一样一环扣一环。这是核心区别，很多孩子就卡在这里。

孩子不是不会算角度，很多是生活因果思维，转不成数学严谨推理思维。 初一只是铺垫，初二全等几何是逻辑爬坡的关键：一旦这一关打通，后续四边形、圆的证明都会顺很多；如果逻辑链条建立不起来，几何会持续拖分。

这套卷子，24 道题里有 19 道直接或间接考全等。它就是一次"逻辑爬坡"的实战演练。

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先给结论：这份卷子的真面目

中档偏上，选择题送分很客气，解答题翻脸不认人。按得分结构看，三段分明：

前 45 分，是该得的
：选择 1—6、填空 9、解答 14—17。这里错一道以上，不是粗心，是基本功有洞。
中间 42 分，考会不会用
：选择 7、8，填空 10—13，解答 18—20。这是分层的第一道闸门，全等判定开始"换马甲"。
最后 33 分，考能不能串
：解答 21—24。角平分线性质、动点全等、生活应用、几何探究，一题比一题综合，这是汉滨初中选拔人的硬杠。

主线两条：全等三角形（判定、性质、角平分线）与几何推理的书面表达（证明题书写规范）。还有一条暗线：分类讨论（等腰三角形两边 4 和 9、Q22 动点两种速度），年年考，年年有人丢分。

还有一句要紧的话：初二几何的证明，是初中三年"书面表达"的起点。跳过这一步，后面四边形、圆、相似，每一步都要还债。

下面逐题讲。

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第一部分　选择题（8 题，每题 3 分，共 24 分）

第 1 题全等图形的识别

题面在下列各组图形中，是全等图形的是（　　）

考点全等图形的定义——能够完全重合的两个图形。形状相同且大小相同，两个条件缺一不可。

概念判断两个图形是不是全等形，标准只有一个：能不能完全重合。平移、旋转、翻折三种运动都不改变图形的形状和大小，所以经过这三种"运动"能重合的，就是全等形。注意：两个等边三角形不一定全等——边长可以不同；两个八边形、两个手机图形同理，"长得像"不等于"一样大"。

易错点

误选 A：两个等边三角形"形状相同"，但边长未必相等，大小不同则不是全等形。
把"形状相同"当成全等的唯一标准，丢了"大小相同"。
看见"倒三角形"就兴奋——方向变了不要紧，翻折能重合就算，关键还是看大小。

分层卡点

冲优生三秒出答案，错的都是眼瞎。
中等生在 A 上犹豫——记得"形状相同"，忘了"大小相同"。
基础生"全等"两个字的意思还没落地，记住口诀：能完全重合，才叫全等。像，不算。

破题角度拿"能否完全重合"逐个过选项。两个五角星，形状一样、大小一样，平移旋转就能重合，是全等形；其余三组都只保证了"形状像"，大小存疑。

答案D

🔔 任老师思维点拨：全等的本质是"复制粘贴"，不是"画得挺像"。以后每见到"全等"两个字，先问自己一句：叠上去，能不能一丝不差？

今日一句像和是，隔着一次完整的重合。学习也是：听懂了和会做了，隔着一次完整的落笔。

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第 2 题三角形三边关系

题面若某个三角形的两条边长分别为 4，9，则第三条边的长度可以是（　　）

A．3　B．5　C．10　D．13

考点三角形三边关系定理——三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

概念已知两边求第三边的范围：两边之差 < 第三边 < 两边之和。这里是 9−4 < x < 9+4，即 5 < x < 13。注意是严格大于、严格小于：x=5 时 4+5=9，两边之和等于第三边，三点共线，退化；x=13 时同理，构不成三角形。

易错点

把范围写成 5 ≤ x ≤ 13，把等号放进去——等于就"趴平"了，不是三角形。
只验"和"不验"差"：x=3 时 3+4=7<9，也不行。
误选 D：13 恰好是上界，命题人就爱把边界值放进去当陷阱。

分层卡点

冲优生口算 5<x<13，直接选 C。
中等生知道范围但把等号算进去了，在 5 和 13 之间反复横跳。
基础生三边关系定理背不全，只记得"两边之和大于第三边"，漏了"两边之差小于第三边"。

破题角度先算范围 5<x<13，四个选项里只有 10 落在开区间内。3 小于下界，5、13 是边界（等于就退化），全部出局。

答案C

🔔 任老师思维点拨：三边关系是"三角形俱乐部"的门禁：差着门、顶着门，都进不来。这个范围记牢，第 9 题、第 16 题还要用它。

今日一句做人做事也讲个"三边关系"：太紧会崩，太松会散，留出余地才能成事。

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第 3 题数三角形——有序思考

题面如图，以点 A 为顶点的三角形有（　　）个

A．2　B．3　C．4　D．5

考点从复杂图形中数出指定顶点的三角形——考的是有序思维，不重不漏。

概念数图形有个铁律：按顺序、不跳跃。以 A 为顶点的三角形，另外两个顶点必须都和 A 有线段相连。本题中从 A 出发的边只有 AB、AC 两条，D 在 AB 上、E 在 AC 上，所以"另一个顶点"只能在 {B, D, E, C} 里两两组合，且不能共线：

取 B、C → △ABC
取 B、E → △ABE
取 D、C → △ADC
取 D、E → △ADE

B、D 共线（都在 AB 上），E、C 共线（都在 AC 上），这两组出局。内部交点 O 与 A 没有连线，含 O 的组合全部不算。共 4 个。

易错点

多数少数：把 △ABE 和 △ADC 漏掉——它们被 DE 和交叉线"挤"成了小三角形，肉眼容易跳过。
多数：把 O 点相关的三角形（如 △AOD）算进来——图里 A 和 O 之间根本没有线段。
凭感觉数，不按顺序，数出 5 个、6 个。

分层卡点

冲优生按组合数：A 出发两条边、四个点，C(4,2) 减两组共线，十秒收工。
中等生漏数两个"扁"三角形——ADE 和……不，漏的恰恰是 ABE、ADC 这种"贴边"的。养成按顺序数的习惯。
基础生不知道"三角形"三条边必须都存在。先练基本功：指着图，把每个三角形的三条边都念一遍，念不出来的就不是。

破题角度先数从 A 出发的线段（AB、AC，共 2 条），再找这两条线上的分点（D、E），然后按 {B,C}、{B,E}、{D,C}、{D,E} 的顺序组队，共线组合剔除，得 4 个。

答案C

🔔 任老师思维点拨：数图形题年年考，方法就一句：先数边，再数点，最后按顺序组队。顺序是防漏防重的唯一解，感觉是最靠不住的。

今日一句高手数图靠顺序，新手数图靠运气。顺序是笨办法，也是聪明办法。

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第 4 题打碎三角形——ASA 判定

题面如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（　　）

A．SSS　B．AAS　C．ASA　D．SAS

考点全等三角形的判定（ASA）在实际问题中的应用。

概念第③块碎片的妙处：它保留了两个完整的内角，以及两个角的夹边——两角及其夹边对应相等，根据 ASA 就能配出一模一样的三角形。第①块只有一个角和部分边；第②块只有一条边和部分角——都不足以确定原三角形。

易错点

误选 AAS：第③块确实是"两角一边"，但那条边是两角的夹边，用 ASA 更直接；AAS 是"两角及其中一角的对边"，此题的边站的位置不对。
误选 B/D：没有边的完整信息，排除。
凭印象选，不分析每块碎片保留了什么。

分层卡点

冲优生送分题，但要说得清为什么不是 AAS——夹边和非夹边，命题人就考这个眼力。
中等生知道带③，卡在 ASA 和 AAS 之间。看边：夹在两条残边夹角之间的，是 ASA。
基础生五个判定（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）还分不清谁是谁。回去画五个图，每个图标出"已知相等"的部位，各贴一张在书桌前。

破题角度逐块分析保留的信息：①一个角；②一条边的局部；③两个角+夹边。只有③满足完整判定条件，且是 ASA。

答案C

🔔 任老师思维点拨：这是课本例题的翻版，中考常客。以后遇到"配玻璃""配模具"，套路一样：找保留信息最全的那块，然后看边是"夹"的还是"对"的。

今日一句带③去不是运气，是它恰好留住了两个角和它们的夹边——关键信息从不多余，也从不缺席。

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第 5 题斜面受力——垂直与平行

题面一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 G 的方向竖直向下，支持力 F₁ 的方向与斜面垂直，摩擦力 F₂ 的方向与斜面平行。若斜面的坡角 α = 25°，则摩擦力 F₂ 与重力 G 方向的夹角 β 的度数为（　　）

A．165°　B．155°　C．125°　D．115°

考点方向角——竖直方向与斜面平行方向的夹角计算。

概念F₂ 沿斜面向上（摩擦力阻止杯子下滑），与竖直方向（重力方向）的夹角：斜面与水平面成 α=25°，则斜面方向与竖直方向成 90°+25°=115°。这是"垂直得垂直、平行得平行"的套用：竖直⊥水平，斜面⊥法线，两组垂直关系套下来，斜面方向与竖直方向就差一个 90° 加（或减）坡角。

易错点

误选 155°：把 β 当成 180°−25°，方向搞反了。
误选 125°：算成 90°+35° 或别的组合，坡角加减出错。
没画图，凭"感觉是个钝角"在 155 和 115 之间蒙。

分层卡点

冲优生90°+α 直接出口算题，十五秒。
中等生公式会背，题一换（杯子换木块、斜面换斜坡）就慌。抓住本质：摩擦力平行斜面，重力竖直向下，夹角永远是 90°+坡角。
基础生α、β 在图上谁是谁分不清。拿量角器对着图量一遍，比听十遍都管用。

破题角度摩擦力 F₂ 平行于斜面，重力 G 竖直向下。斜面与竖直方向夹角 = 90° + 坡角 α = 90°+25° = 115°，即 β = 115°。

答案D

🔔 任老师思维点拨：物理情境的数学题，解题钥匙就一句：把"垂直于什么、平行于什么"翻译成"与什么成 90°、成同一个角"。翻译完，就是纯角度计算。

今日一句垂直平行看着虚，落在图上都是 90° 和等角。数学从不玩虚的，玩虚的是人。

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第 6 题角平分线——一内三外

题面某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的△平地上修建一个度假村，如图所示，要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村可修建位置有（　　）处

A．1　B．2　C．3　D．4

考点角平分线的性质与判定——到角两边距离相等的点，在角的平分线上。

概念到三条直线距离相等的点，是两条角平分线的交点。三角形每个内角有一条平分线，每个外角也有一条：内部一个（内心，到三边距离相等），外部三个（旁心，各到一个边和两条边的延长线距离相等）。合起来 4 处。注意题干说的是"三条公路"——是三条直线，不是三条线段，所以延长线外也要算。

易错点

误选 A：只找到内心，漏掉三个旁心——这是最常见的失分点。
误选 C：只数了内角平分线交点，没算外角。
把"三条公路围成的△平地"理解成只能在三角形内部建——外部不算面积，但题目问的是"位置"，外部同样是合法答案。

分层卡点

冲优生一内三外是标准结论，但这题要注意"公路"是直线，答案才敢写 4。
中等生知道角平分线，漏掉旁心。记住：三角形内心 1 个、旁心 3 个，共 4 个点到三边等距。
基础生连内心都没找到。先掌握单个角的平分线性质，再谈组合。

破题角度到三条直线距离相等 → 在三内二外四条角平分线中任取两条的交点：三个内角平分线交于一点（1 处）；一个内角平分线与两个外角平分线各交一点（3 处旁心）。共 4 处。

答案D

🔔 任老师思维点拨：一内三外，四个点。这道题是第 11、19、20、21 题的"总纲"——角平分线的性质，这套卷子考了四道题，分量自己品。

今日一句内心的公道，众人皆知；旁心的公道，世人罕提。可题目问的是"有幾处"，不是"有哪一处"——审题谨慎，答案才全。

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第 7 题标杆测楼高——15 米

题面同学们为了测量教学楼的高度，进行了如下操作：如图，在教学楼前竖直放置一根高为 3 米的标杆 AB，测得标杆底部 B 点与教学楼底部 D 点之间的距离为 18 米，在教学楼与标杆之间的地面上选取一点 C，测得点 C 到教学楼底部 D 点的距离为 3 米，从点 C 观察标杆顶点 A 与楼顶 E 时，∠ACE = 90°，且点 B、C、D 在同一条直线上。根据以上数据计算出教学楼的高度是（　　）米

A．15　B．13　C．12　D．18

考点全等三角形（AAS）在测量问题中的应用——"两个直角 + 一个隐含等角"凑全等。注意：相似是初三内容，初二卷不考，本题用全等即可解出。

概念本题是初二"全等三角形"章节的经典测量模型。B、C、D 共线，AB、ED 都垂直地面，所以 ∠ABC = ∠CDE = 90°（两个直角）。题面特意给的 ∠ACE = 90° 是破题钥匙——它逼出"同角的余角相等"，从而把两个直角三角形凑成全等，根本用不着相似。

标准解法（AAS 全等）：

先理清线段：B、C、D 共线且 C 在 B、D 之间，B 到 D 共 18 米、C 到 D 为 3 米 → BC = 18−3 = 15 米，CD = 3 米，标杆 AB = 3 米。

证明全等： 1. AB⊥BD、ED⊥BD ⇒ ∠ABC = ∠CDE = 90°； 2. ∠ACE = 90°，且 B、C、D 共线（C 在 BD 上），故 ∠ACB + ∠DCE = 90°； 3. 在 Rt△ABC 中 ∠BAC = 90°−∠ACB；在 Rt△CDE 中 ∠CED = 90°−∠DCE。由 ∠ACB+∠DCE=90°，得 90°−∠ACB = ∠DCE，即 ∠BAC = ∠DCE（同角的余角相等）；同理 90°−∠DCE = ∠ACB，即 ∠ACB = ∠CED； 4. 于是 △ABC ≌ △CDE（AAS）：∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED，且 AB=CD=3； 5. 全等对应边 BC ↔ DE ⇒ DE = BC = 15。楼高 15 米。

验证：AB=CD=3、∠ABC=∠CDE=90°、BC=DE=15，三组对应量彼此吻合，全等关系自洽 ✓。

易错点

把 BC 当成 18——B 到 D 是 18，但 C 在中间，BC 要减掉 CD，得 15。这是本题第一大坑，一半学生栽在这里。
全等对应顶点找错：A↔C、B↔D、C↔E，对应边 BC↔DE；若错配成 AB↔DE，会算出 3/3=DE/15 得 DE=3，或反过来得 18。
误选 18：直接用"18×3/3"没减 CD，或者根本没意识到要分类。

分层卡点

冲优生一眼看穿两个直角 + ∠ACE=90° → AAS 全等 → BC=DE 直接出 15。二十秒。
中等生全等证得对，BC 算错（没减 CD）。审题时把"B 到 D 18""C 到 D 3""C 在中间"画成一条线段图，错不了。
基础生说不清为什么全等。记套路：两个直角相等 + 一个"同角的余角相等"凑出第二对锐角相等 → AAS。先证全等，再写对应边。

破题角度（最优解法）：

画线段图：B——15——C——3——D（B 到 D 共 18）。
AB⊥BD、ED⊥BD ⇒ 两个直角 ∠ABC=∠CDE=90°。
∠ACE=90° 且 B、C、D 共线 ⇒ ∠ACB+∠DCE=90° ⇒ 用"同角的余角相等"推出 ∠BAC=∠DCE（兼得 ∠ACB=∠CED）。
△ABC≌△CDE（AAS）→ 对应边 BC=DE → DE=15。

答案A

🔔 任老师思维点拨：测量问题别一上来就找相似——相似是初三才学的，初二这题考的就是全等。套路就一句：题给的 ∠ACE=90° 是钥匙，它和两个直角一起逼出"同角的余角相等"，两对锐角都相等，AAS 一证，BC 直接等于楼高 DE。至于 BC=15 而不是 18——审题时把每个数据的起止点圈出来，这是本题送你的礼物。

今日一句标杆 3 米，退 3 米看点，前进 15 米看楼——15 米的楼高是"量"出来的，不是"猜"出来的。学习亦然：每一步都要有依据。

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第 8 题半角模型——①②③

题面如图，在 △ABC 中，AB = AC，∠B = ∠ACB = 45°，D、E 是斜边 BC 上两点，且 ∠DAE = 45°，过点 A 作 AF ⊥ AD，过点 C 作 CF ⊥ BC，交 AF 于点 F，连接 EF，下列结论：① △ABD ≌ △ACF；② DE = EF；③ 若 S△ADE = 15，S△CEF = 6，则 S△ABC = 36；④ BD + CE = DE，其中正确的是（　　）

A．①④　B．②③　C．①②③　D．①②④

考点等腰直角三角形中的"半角模型"——全等构造 + 面积割补综合。

概念∠B=∠ACB=45° → ∠BAC=90°，AB=AC，这是等腰直角三角形。∠DAE=45° 恰是顶角的一半，故名"半角模型"。

①正确
：AF⊥AD、CF⊥BC → ∠DAF=∠ECF=90°。由 ∠BAD+∠DAC=90°、∠CAF+∠DAC=90° 得 ∠BAD=∠CAF；又 ∠ACF=90°−∠ACB=45°=∠B，AB=AC → △ABD≌△ACF（ASA）。得 AD=AF，BD=CF。
②正确
：由 AD=AF、AE 公共、∠DAE=∠EAF=45° → △ADE≌△AFE（SAS）→ DE=EF。
③正确
：先把 △ABC 沿 BC（D、E 都在 BC 上）拆成同高的三块：S△ABC = S△ABD + S△ADE + S△AEC；由 ① 得 S△ABD = S△ACF，由 ② 得 S△ADE = S△AFE（全等形等积）。于是 S△ABC = S△ACF + S△AFE + S△AEC。再由旋转构造带来的面积守恒（图中 △ACF 与 △AFE 之差，恰好等于 △CEF 与 △AEC 之差），即 S△ACF + S△AEC = S△AFE + S△CEF，代回即得 S△ABC = 2×S△AFE + S△CEF = 2×15 + 6 = 36。
④错误
：BD=CF，DE=EF，而 CF+CE>EF（三角形两边之和大于第三边）→ BD+CE>DE，④的等号不成立。

易错点

误把②当"BE=EF"——DE=EF 才是结论，BE 与 EF 一般不相等。
③的面积不会拆：看不穿"先沿 BC 把 △ABC 拆成 S△ABD+S△ADE+S△AEC 三块，再用 ①② 两组全等把 S△ABD、S△ADE 替换成 S△ACF、S△AFE"，被 15、6 两个数字唬住。
④凭直觉认为"加起来等于"，不会用三角形三边关系证伪。

分层卡点

冲优生半角模型要形成条件反射：见 45° 半边角，构造"一线三垂直"全等。四分钟全拿。
中等生①②会证，③的面积拆分卡壳。记住法宝：全等三角形面积相等，把散落的面积"赶"到一起去。
基础生①的 ASA 就过不去。∠BAD=∠CAF 这个"同角余角相等"练十遍，它是整个模型的发动机。

破题角度①用 ASA（∠BAD=∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF=45°）；②用 SAS（AD=AF，夹角 45°，AE 公共）；③沿 BC 拆三块 + 两组全等换等积 + 旋转面积守恒；④用三边关系直接否定。①②③ 正确。

答案C

🔔 任老师思维点拨：半角模型是八上几何的"明星模型"，中考压轴的常客。口诀：顶角一半出现时，旋转构造全等形。这套卷子第 24 题是它的"表哥"（共顶点等腰三角形），一起练，一通百通。

今日一句45° 的半角模型，是出题人留给你的暗门——看得见模型的人四分钟交卷，看不见的人四十分钟还在磨。

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第二部分　填空题（5 题，每题 3 分，共 15 分）

第 9 题等腰三角形的分类讨论

题面若等腰三角形的两边长分别是 4 和 9，则周长为＿＿＿＿。

考点等腰三角形的两边之长 + 三角形三边关系的分类讨论。

概念已知两边长没有说谁是腰、谁是底，必须分两种情况：① 4 是腰、9 是底：三边 4、4、9，但 4+4=8<9，构不成三角形，舍去；② 9 是腰、4 是底：三边 9、9、4，9+4>9 ✓，成立。周长 = 9+9+4 = 22。

易错点

只算一种情况，得出周长 17（4+4+9）——忘了三边关系验证，8<9 根本不成三角形。
两种都算，答案写"17 或 22"——不舍去构不成的，分类讨论不完整。
结论写 22 但过程不写"为什么舍去 17"，步骤分丢失。

分层卡点

冲优生条件反射：先分类、再验证、后取舍。二十秒。
中等生会分类，漏验证。"已知两边求等腰"的题，不验证三边关系等于没做完——这是铁律。
基础生不知道要分类。记住：题目没说谁是腰，就两种情况，一种一种算，算完拿"两边之和大于第三边"过堂。

破题角度分类（腰为 4 / 腰为 9）→ 验证（4,4,9 舍去）→ 计算（9,9,4 → 22）。

答案22

🔔 任老师思维点拨：分类讨论是中考数学的"隐形考点"，选择、填空、解答题里到处埋伏。口诀：没说不一定是，说了不一定不——条件没说死，就要把每种可能摆到桌面上，逐个验货。

今日一句4 和 9 的等腰三角形只有一个答案，可有人偏偏写出两个——不是题有两解，是他少验了一次货。

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第 10 题共顶点全等——BE = 2√7

题面如图，△ABC ≌ △EDC，若 ∠ACB = 90°，∠B = 30°，则 BE = ＿＿＿＿。

考点全等三角形的对应边相等 + 含 30° 角的直角三角形的性质（三边比 1:√3:2）。（注：BE 的精确值 2√7 需用到八下才学的勾股定理，初二阶段先给出结论，八下学完再回看。）

概念突破口在全等对应关系：△ABC≌△EDC → CE = CA，CD = CB，ED = AB，∠ECD = ∠ACB = 90°。在 Rt△ABC 中，∠B=30° → ∠A=60°，三边比 CA : CB : AB = 1 : √3 : 2。设 CA = 2，则 CB = 2√3，AB = 4。于是 CE = 2。

求 BE 需要知道 ∠BCE。由图：CE 由 CA 绕点 C 旋转而成，落在 CB 的下方，与 CB 成 150°。过 E 作 EF ⊥ CB 的延长线于 F：在 Rt△CEF 中，∠ECF = 180°−150° = 30°，CE = 2 为斜边。由"含 30° 角的直角三角形的性质"，30° 所对的直角边 EF = ½CE = 1，另一条直角边 CF = √3（含 30° 角直角三角形的三边比 1 : √3 : 2）。于是 BF = BC+CF = 2√3+√3 = 3√3。

至此初二能算到的边长是 BF = 3√3、EF = 1。最后 BE = 2√7（这一步需要八下才学的勾股定理才能严格写出，初二阶段先记住这个结论，八下学完勾股后回看即通）。

易错点

对应边找错：把 CE=CB 或 CD=CA 搞反——按字母顺序 A↔E、B↔D、C↔C，边逐个对，别跳。
直接猜 BE=BC+CE 或 BE=AB：E 不在直线 BC 上，BE 是斜线段，必须作垂线构造直角三角形。
30° 用错地方：Rt△CEF 里 30° 对短边 EF，比例关系别搞混。

分层卡点

冲优生对应边 + 作高 + 30° 性质，初二能算到 EF、CF、BF；BE 收尾用八下勾股，先记结论。核心难点是看出 CE=CA=2 和 ∠ECF=30°。
中等生全等对应关系会找，卡在"BE 怎么求"——记住：求斜线段长度，标准动作是向已知直线作垂线，拆成两个直角三角形。
基础生30-60-90 的三边比 1:√3:2 记不牢。回去把含 30° 角的直角三角形性质抄十遍，这是八上解答题的半壁江山。

破题角度① 全等 → CE=CA=2；② 图中读出 ∠BCE=150°；③ 作 EF⊥CB 延长线，Rt△CEF 中用 30° 性质得 CF=√3、EF=1；④ BF=3√3，BE=2√7（需八下勾股推导）。

答案2√7

🔔 任老师思维点拨：共顶点的两个全等三角形，是八上最漂亮的模型之一。解题三板斧：对应边相等（转移边长）→ 旋转角定方向（转移角度）→ 作垂线用 30° 性质拆出边长（BE 收尾需八下勾股）。三板斧抡熟，第 24 题就是它的豪华版。

今日一句全等的意义不是"长得一样"，是"边角可以搬家"。会把已知搬进未知的人，考场上都是搬运工里的高手。

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第 11 题内心等距——面积秒算

题面如图，已知 △ABC 的周长是 22，∠ABC 和 ∠ACB 的平分线交于点 O，OD ⊥ BC 于点 D，且 OD = 3，△ABC 的面积是＿＿＿＿。

考点角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等）+ 面积分割。

概念∠ABC、∠ACB 的平分线交于 O → O 是内心，到三边距离相等。已知 OD=3（O 到 BC 的距离），则 O 到 AB、AC 的距离也是 3。连接 OA、OB、OC，把 △ABC 切成三块：

S△ABC = S△AOB + S△BOC + S△COA = ½·AB·3 + ½·BC·3 + ½·CA·3 = ½·(AB+BC+CA)·3 = ½ × 22 × 3 = 33。

一句话公式：三角形面积 = 半周长 × 内切圆半径。这题就是送分题，前提是你看得穿"内心"三个字。

易错点

不知道 O 是内心，不会用 OD=3 外推：要主动连 OA，把 3 "复制"到另外两条边上。
面积拆完不会合并：三块面积里的 3 提出来，剩下正好是周长 22。
误把 OD=3 当成高，直接用 S=½·BC·3——BC 未知，此路不通。

分层卡点

冲优生内心 + 面积公式，十五秒。这题错一道，今天午饭加鸡腿的资格都没有。
中等生知道内心等距，卡在"怎么用"。辅助线就一句话：连接 OA，面积劈三块。
基础生先回去把"角平分线的性质定理"的图和推理过程默写出来。性质定理是 21 题的地基，这里只是小试牛刀。

破题角度连 OA → O 到三边距离都是 3 → S = ½×周长×3 = 33。

答案33

🔔 任老师思维点拨：内心等距 + 分割面积，这是"设而不求"的典范——三条边具体多长根本不用知道，周长一个数就够。数学里最厉害的武器，是"整体代换"。

今日一句有人量遍三条边算面积，有人半个周长乘半径。工具不同，效率差一倍——选方法比使劲重要。

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第 12 题折叠问题——118°

题面如图，在三角形纸片 ABC 中，∠A = 60°，∠B = 70°，将纸片的一个角折叠，使点 C 落在 △ABC 外，若 ∠2 = 18°，则 ∠1 的度数为＿＿＿＿。

考点轴对称（折叠）的性质——折叠前后对应角相等。

概念△ABC 中 ∠C = 180°−60°−70° = 50°。折叠后点 C 的对应点是 C′，折痕是 DE。折叠的本质是轴对称：∠CDE = ∠C′DE，∠CED = ∠C′ED——折痕两侧的角一模一样。

本题官方构型（C 外折、折痕 DE、D 在 BC 上、E 在 AC 上、C′ 折到 A 的外下方）：E 处的 ∠2=18° 是 EC′ 与 EC 所在直线方向的夹角，满足 2∠CED − 180° = 18° → ∠CED = 99°。于是在 △CDE 中：∠CDE = 180° − 50° − 99° = 31°。D 处的 ∠1 由 DB 与 DC′ 夹成，D 在 BC 上、DB 与 DC 成平角：∠1 = 180° − 2×31° = 118°。

易错点

∠C 求错：180−60−70=50，有人算成 60 或 70。
折叠性质用反：以为折痕两侧角相加等于原角——是相等，不是相加。
∠2=18° 的方位判断错：它是 EC′ 与 EC 延长线方向的夹角，不是 △C′DE 内部的角。先画图、标字母、再拆 180°，顺序不能乱。

分层卡点

冲优生折叠模型三板斧：对称角相等、平角拆分、内角和转移。118° 四分钟到手。
中等生对称性质记得，卡在"18° 放哪"。诀窍：从折痕两个端点出发，把平角 180° 拆成"折前角 + 折后角 + ∠2"三份。
基础生折叠题全部蒙圈。拿一张纸真折一次，看着折痕两边的角完全重合——"轴对称"三个字就有了。

破题角度∠C=50° → 2∠CED−180°=18° → ∠CED=99° → ∠CDE=180°−50°−99°=31° → ∠1=180°−2×31°=118°。

答案118°

🔔 任老师思维点拨：折叠问题的总开关：折痕两边，角全等。所有折叠题都是这句话的展开。至于 18° 在图的哪个缝里——先画图再下笔，图的方位感比计算更重要。

今日一句纸一折，角重合；题一做，118°。世间没有新题，只有没拆穿的模型。

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第 13 题角平分线 + 倍角——截长法

题面如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC，∠B = 2∠ADB，AB = 3，CD = 5，则 AC = ＿＿＿＿。

考点角平分线的定义 + 倍角关系的截长构造 + 全等三角形的性质。

概念本题的标准武器是截长法。在 AC 上截取 AF = AB = 3，连接 DF：

∵ AD 平分 ∠BAC → ∠BAD = ∠FAD；又 AD=AD，AF=AB → △AFD ≌ △ABD（SAS）。 ∴ DF = DB，∠AFD = ∠ABD = 2∠ADB。

∠DFC = 180°−∠AFD = 180°−2∠ADB。又 D 在 BC 上，∠ADC = 180°−∠ADB，∠ADF = ∠ADB（全等），∴ ∠FDC = ∠ADC − ∠ADF = (180°−∠ADB) − ∠ADB = 180°−2∠ADB。

∠DFC = ∠FDC → FC = DC = 5（等角对等边）。 ∴ AC = AF + FC = 3 + 5 = 8。

妙处：全程不求任何角度！"∠B=2∠ADB"这个倍角条件，被全等转移成一对等腰三角形的底角，角度自己约掉了。这就是"设而不求"的高阶玩法。

易错点

试图设 ∠ADB=x 列方程解三角形——那是初三的路子，初二走不通，且计算量巨大。
截点取错：要截在 AC 上取 AF=AB，让全等的"边"落在已知边 AB 上；截在 AB 上方向别扭。
全等之后不会用"等角对等边"收尾——FC=DC 是本题的临门一脚。

分层卡点

冲优生截长法口算级：截 AF=AB，全等，等角对等边，AC=3+5=8。全程不超过六行。
中等生知道要作辅助线，不知道截哪。原则：把已知边（AB=3）"搬"到未知边所在的直线上（AC），搬完再看能长出什么。
基础生SAS 全等的书写还不过关。先把"截长法"的图看懂，再把证明逐字抄两遍，抄完合上书自己写一遍。

破题角度AC 上截 AF=AB=3 → △AFD≌△ABD（SAS）→ DF=DB、∠AFD=∠B=2∠ADB → ∠DFC=∠FDC=180°−2∠ADB → FC=DC=5 → AC=8。

答案8

🔔 任老师思维点拨：截长法口诀：知边搬边，见倍角造等腰。本题"∠B=2∠ADB"看着吓人，搬到 AC 上之后，倍角变成一对相等的底角，五分钟变五秒钟。辅助线的艺术：不是添加图形，是转移情报。

今日一句AB=3、CD=5，答案是 8——不是加法运气，是全等搬家的结果。数学里每一个"显然"，背后都有人搬过家。

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第三部分　解答题（11 题，共 81 分）

解答题是这套卷子的分水岭。选择填空考"认得出"，解答题考"写得清"——同样的结论，过程差一步，分就少一半。下面每一题我都按"先破题、再落笔"的顺序拆给你看。

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第 14 题平行线的推理填空

题面填写下列空格：已知，如图，AB ∥ CD，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4。求证：AD ∥ BE。

证明：∵ AB ∥ CD（已知），∴ ∠4 = ∠BAF（　①　）

∵ ∠3 = ∠4（已知），∴ ∠3 = ∠＿＿＿（　②　）

∵ ∠1 = ∠2（已知），∴ ∠1 + ∠CAF = ∠2 + ∠CAF（　③　）

即 ∠BAF = ∠CAD，∴ ∠3 = ∠＿＿＿（　④　），∴ AD ∥ BE（　⑤　）

考点平行线的性质与判定的综合运用 + 等量代换 + 等式的基本性质。

概念这是七年级"平行线"那一章的压轴题型，也是初二写证明的起手式。必须先分清两个方向：

性质
（由平行推角）：两直线平行 → 同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补。
判定
（由角推平行）：同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补 → 两直线平行。

一个是"平行在前"，一个是"平行在后"，写反了整空就没分。

另外两个"填空专用词"：等量代换（a = b，b = c，则 a = c）和等式的性质（等式两边同时加上同一个量，等式仍成立）。本题第 ③ 空是"两边同加 ∠CAF"，这是等式性质，不是等量代换——这是最常丢的一空。

易错点

第 ① 空写成"内错角相等"：∠4 与 ∠BAF 是直线 AF 截两条平行线得到的同位角，写错名称直接扣。
第 ③ 空写成"等量代换"：这里是"加同一个角"，依据是等式的性质。
最后一空写成"同位角相等"：∠3 与 ∠CAD 夹在 AD、BE 之间、分居截线两侧，是内错角。
把 ∠CAD 写成 ∠DAC 之外的别的角：注意 ∠1 就是 ∠BAC、∠2 就是 ∠FAD，同加 ∠CAF 才凑出 ∠BAF 与 ∠CAD。

分层卡点

冲优生七空全对，还要说得出每一空的理由。满分选手的分水岭在"名称"，不在"结论"。
中等生第 ③ 空最常丢：分不清"等式的性质"和"等量代换"。记住：**做加减法是等式性质，做替换才是等量代换**。
基础生把"性质"和"判定"的方向记死：性质是"平行 → 角"，判定是"角 → 平行"。每天默写一遍平行线的三条性质、三条判定，一周见效。

破题角度先把图形读成两条直线——B、C、E 共线，A、F、E 共线，这两条直线是整道题的骨架。∠1、∠2 是 A 点处被射线 AC、AF 分出的两个角（∠BAC 与 ∠FAD），给它们同时加上中间的 ∠CAF，就得到 ∠BAF = ∠CAD——这一步是"造桥"，把左右两边的信息连起来。

答案

① 两直线平行，同位角相等　　② BAF（等量代换）　　③ 等式的性质　　④ CAD（等量代换）　　⑤ 内错角相等，两直线平行

🔔 任老师思维点拨：填空型证明考的不是你会不会证，是你能不能给每一步找到名字。很多孩子心里明白，落笔写不出"依据"。练法很简单：把课本上每一个定理抄成"如果……那么……"的句式，抄十遍，依据就长在手上了。

今日一句会做是本事，写得清是功夫。考试只认落在纸上的那一行字。

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第 15 题尺规作图：作 ∠ABC 的平分线

题面如图，在 Rt△ABC 中，∠A = 90°，BC = 8。请用尺规作出 ∠ABC 的平分线，交 AC 于点 D（保留作图痕迹，不要求写作法）。

考点尺规基本作图——作已知角的平分线；以及它背后的合法性依据（SSS）。

概念作角平分线的标准三步：

以 B 为圆心，适当长为半径画弧，交 BA 于点 M、交 BC 于点 N；
分别以 M、N 为圆心，大于 ½MN 的长为半径画弧，两弧在 ∠ABC 内部相交于点 P；
作射线 BP，交 AC 于点 D。射线 BD 即为所求。

为什么这样做是对的：由作法知 BM = BN，MP = NP，又 BP = BP，故 △BMP ≌ △BNP（SSS），于是 ∠MBP = ∠NBP——BP 确实平分 ∠ABC。尺规作图的每一步，背后都站着一个全等判定，这就是为什么它"合法"。

易错点

第 2 步半径不大于 ½MN，两弧画不相交，图作废。
只画弧、不连射线，或者射线没画到 AC 上标出点 D——没标出 D 扣分。
用刻度尺量角度、用量角器量角度：尺规作图只允许无刻度直尺和圆规，一量就是零分。
把辅助弧线擦掉：题目要求"保留作图痕迹"，痕迹本身就是得分点。
被"BC = 8"带偏：这个数字在这道作图题里用不上，是多余条件。

分层卡点

冲优生三步秒出，还能说出"为什么这样作是对的"（SSS）。
中等生会画但常忘标 D，或把痕迹擦得太干净。交卷前检查两件事：痕迹、点 D。
基础生圆规用不熟，弧画歪。回家拿一张纸，把"作角平分线""作垂直平分线""作一个角等于已知角"三个基本作图各练五遍，手感是练出来的。

破题角度尺规作图题的评分点只有两个——痕迹在不在、结论标没标。做法不要求写，所以专心把图作准、把 D 标清就够了。

答案图略（射线 BD 即为 ∠ABC 的平分线，作法如上三步）。

🔔 任老师思维点拨：尺规作图最能看出一个孩子的"规矩感"。规矩不是束缚——正因为只有圆规和无刻度的直尺，作出来的东西才绝对精确。学习也一样：工具越少，越要讲方法。

今日一句尺规之下，没有"差不多"。差一点，就是差。

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第 16 题非负数 + 等腰分类讨论

题面如果实数 a、b 满足 |2a − 6| + (b − 5)² = 0，且 a、b 恰好是等腰 △ABC 的两边长，求 △ABC 的周长。

考点非负数的性质（绝对值 ≥ 0、平方 ≥ 0）+ 等腰三角形的分类讨论 + 三角形三边关系检验。

概念两个非负数之和等于 0，只能各自都等于 0——这是初中数学最强的一条"硬开锁"性质：

|2a − 6| = 0 → 2a − 6 = 0 → a = 3；(b − 5)² = 0 → b = 5。

于是等腰 △ABC 的两边长是 3 和 5，第三边只能是 3 或 5（等腰必有两边相等）：

腰为 3
：三边 3、3、5。检验 3 + 3 = 6 > 5 ✓ → 周长 = 3 + 3 + 5 = 11。
腰为 5
：三边 5、5、3。检验 5 + 3 = 8 > 5 ✓ → 周长 = 5 + 5 + 3 = 13。

两种都过关，所以答案是两个数。

易错点

只写一个答案。等腰三角形告诉你"两边长"，第三边不确定，必须分类。
分了类却不检验三边关系。本题两种恰好都成立，但这是运气——养成"分完就验"的习惯，下次才不会翻车。
误判 3、3、5 不成立：3 + 3 = 6 > 5，成立。别忘了第 2 题刚讲过的"两边之和大于第三边"。
把 |2a − 6| = 0 解成 a = −3：2a − 6 = 0 → a = 3，别把符号搬错。

分层卡点

冲优生30 秒出"11 或 13"，且本能地写出两个检验式。冲优生的标志是**写完就验**。
中等生算出 a、b 没问题，卡在"只想到腰为 5"这一种。记住口诀：**等腰给两边，答案通常两**。
基础生不知道 |x| ≥ 0、x² ≥ 0。先补这一课：非负数是初中代数里最好用的钥匙。

破题角度看见"|　| + (　)² = 0"，条件反射就是"两个括号各自等于 0"。这是命题人给的信号，看见就动手，不用犹豫。

答案11 或 13。

🔔 任老师思维点拨：分类讨论是初二数学的分水岭能力。它考的不是计算，是思维的完整性——你能不能想到"还有另一种可能"。这种能力，比解出一道难题更值钱。

今日一句世界上的题，多半不止一个答案。只想到一种，往往是最危险的一种。

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第 17 题比例 + 内角和

题面如图，已知在 △ABC 中，BD 是高，CE 是角平分线。若 ∠A : ∠ABC : ∠ACB = 3 : 4 : 5，求 △ABC 的最大内角的度数。

考点三角形内角和定理 + 按比例分配（设 k 法）。

概念三个角的比是 3 : 4 : 5，就设一份为 k：

∠A = 3k，∠ABC = 4k，∠ACB = 5k，由内角和 3k + 4k + 5k = 180° → 12k = 180° → k = 15°。

于是 ∠A = 45°，∠ABC = 60°，∠ACB = 75°。最大的内角是 ∠ACB = 75°。

易错点

把比当成角：3 : 4 : 5 不是角度，是份数，一定要设 k。
内角和写成 360°：三角形内角和 180°，四边形才是 360°。
求完三个角后答错角：题目问"最大内角"，是 75°，不是 45° 也不是 60°。
被图形牵着走
：题面给了"BD 是高、CE 是角平分线"，但这一问只用到内角和和比例，那两个条件是多余的（原题在改编成单问时留下了这两个条件）。考的就是你敢不敢不被图形带走——这是命题人设的定力关。

分层卡点

冲优生一眼看出多余条件，只用内角和，一分钟收工。
中等生做对了，但花了七八分钟在 BD、CE 上绕圈子。学会"先问要什么，再找要什么"。
基础生设 k 法不熟。记住：见到"比"，就设一份是 k，列和方程，这是通法。

破题角度读题先圈"求什么"——求 △ABC 的内角。既然只求内角，就只需要内角和与比例，图上的线段全是干扰。先确定要什么，再决定用什么，这一条能省下大量时间。

答案75°。

🔔 任老师思维点拨：考场上的高手，不是算得最快的人，是最先确定"这题要什么"的人。多余条件是命题人撒的沙子，你踩进去，时间就没了。

今日一句会取舍，才叫会做题。不会取舍的人，一生都在忙。

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第 18 题平行 + 补公共段 + AAS

题面如图，AB ∥ DE，且 AF = CD，∠B = ∠E，求证：BC = EF。

考点平行线的性质（内错角相等）+ 线段的和差（补公共部分）+ 全等三角形的 AAS 判定。

概念图中 A、F、C、D 四点共线，点 B 和点 E 分居 AD 两侧。要证 BC = EF，最自然的路是把它们放进一对全等三角形——△ABC 与 △DEF。

但已知给的 AF = CD 不是这两个三角形的边（AF 不是 △ABC 的边，CD 也不是 △DEF 的边）。怎么办？把中间那段公共的 CF 补上去：

AF = CD → AF + CF = CD + CF → AC = DF。

这一手叫"补公共部分"，是全等证明里出场率最高的技巧。

标准证明：

∵ AB ∥ DE，∴ ∠A = ∠D（两直线平行，内错角相等）。

∵ AF = CD，∴ AF + CF = CD + CF，即 AC = DF（等式的性质）。

在 △ABC 与 △DEF 中：

∠B = ∠E（已知），∠A = ∠D（已证），AC = DF（已证）

∴ △ABC ≌ △DEF（AAS），∴ BC = EF。

易错点

直接把 AF = CD 当全等条件写进去：AF、CD 不在目标三角形里，必须先"补"成 AC、DF。
判定写成"SSA"：SSA 不能判定全等，这是初中几何第一大陷阱。本题是 AAS（两组角 + 其中一角的对边），完全合法。
∠A = ∠D 的理由写错：AB ∥ DE，被 AD 所截，∠A 与 ∠D 是内错角。
漏写"AF + CF = CD + CF"这一步，直接蹦出 AC = DF，过程分没了。

分层卡点

冲优生看到 AF = CD 就想到补 CF，全程五行写完。
中等生知道要证全等，但卡在"AF 用不上"。记住：**已知边不在目标三角形里，就找公共段补进去**。
基础生AAS 和 ASA 分不清。AAS：两角 + 一角的对边；ASA：两角 + 两角的夹边。本题是 AAS。

破题角度看见"已知一对线段相等、要证另一对线段相等"，第一反应永远是"造全等"。造不出来时，先问一句：已知的这对线段在不在目标三角形里？ 不在，就补。

答案见证明（△ABC ≌ △DEF，AAS）。

🔔 任老师思维点拨：全等证明的本质是"配齐三件事"。缺哪件，就从图里找：公共边、公共角、对顶角、平行线给的角、中点或角平分线给的相等关系。找不到，就自己造——补一段、截一段、连一条。辅助线的艺术，全在"造"字上。

今日一句手里的牌不够用，就别硬打，先想想能不能添一张。

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第 19 题倍角 + 角平分线 + 全等

题面如图，在 △ABC 中，∠B = 2∠C，AE 是 ∠BAC 的平分线，AD ⊥ BC 交 BC 于点 D。

（1）若 ∠C = 40°，求 ∠CAE 的度数；（2）若 ∠EAC = ∠C，求证：△ABD ≌ △AED。

考点三角形内角和 + 角平分线的定义 + 直角三角形两锐角互余 + 全等的 ASA 判定。

概念与解答：

（1）∠C = 40° → ∠B = 2∠C = 80° → ∠BAC = 180° − 40° − 80° = 60°。

AE 平分 ∠BAC → ∠CAE = ½∠BAC = 30°。

（2）这一问的关键是先"破"出角度。设 ∠C = x，则 ∠B = 2x，∠BAC = 180° − 3x。

AE 平分 ∠BAC → ∠EAC = ∠BAE = (180° − 3x)/2。

又已知 ∠EAC = ∠C = x，于是 (180° − 3x)/2 = x → 180° − 3x = 2x → x = 36°。

所以 ∠C = 36°，∠B = 72°，∠BAC = 72°，∠BAE = ∠EAC = 36°。

∵ AD ⊥ BC，在 Rt△ABD 中：∠BAD = 90° − ∠B = 90° − 72° = 18°。

于是 ∠EAD = ∠BAE − ∠BAD = 36° − 18° = 18° = ∠BAD。

∵ D、E 都在 BC 上，AD ⊥ BC → ∠ADB = ∠ADE = 90°。

在 △ABD 与 △AED 中：

∠BAD = ∠EAD（已证），AD = AD（公共边），∠ADB = ∠ADE = 90°

∴ △ABD ≌ △AED（ASA）。

易错点

（2）不先解出 x = 36°，在倍角里空转——倍角条件必须"兑现"成具体角度或方程，否则它只是个摆设。
∠BAD 算成 90° − ∠C：Rt△ABD 里的另一个锐角是 ∠B，不是 ∠C。
忘了说明 D、E 都在 BC 上，跳过了 ∠ADE = 90° 这一步。
判定写成 HL 或 AAS：本题是 ASA（两角夹边 AD）。

分层卡点

冲优生（2）一眼看出"先解 x 再找角"，六行写完。
中等生卡在"∠BAD 和 ∠EAD 怎么就相等了"。诀窍：遇到角平分线 + 高，就把两条射线都拉出来，看它们**夹出的是不是同一个角**。
基础生内角和 + 倍角列方程这一步就断了。练法：把"设一份是 x、列和方程"做二十道，形成肌肉记忆。

破题角度（2）是"三步走"——① 用倍角和角平分线把 ∠C 解出来；② 用"高"把 ∠BAD 变成 90° − ∠B；③ 用角平分线把 ∠BAE 变成一半。两个 18° 一碰面，全等就成立了。凡是"角相等"证全等的题，都要先把角度算清楚。

答案（1）30°；（2）见证明（ASA）。

🔔 任老师思维点拨：几何里有两类条件：一类是"能直接用的"（如 AB = AC），一类是"要兑换的"（如 ∠B = 2∠C、AE 平分）。高手读题时就在心里把第二类条件兑换成具体数值，动笔时才不会卡住。

今日一句条件不是摆设，是待兑现的支票。不去兑现，它就永远只是一张纸。

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第 20 题角平分线 + 垂直平分线

题面已知：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分 ∠CAB，DE 垂直平分 AB。

（1）求 ∠B 的度数；（2）若 DE = 2，AD = 2CD，求 BC 的长。

考点垂直平分线的性质（到线段两端距离相等）+ 等腰三角形性质 + 角平分线的性质（到角两边距离相等）+ 含 30° 角的直角三角形。

概念与解答：

（1）∵ DE 垂直平分 AB，且 D 在这条垂直平分线上，∴ DA = DB（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。

∴ △DAB 是等腰三角形 → ∠DAB = ∠B（等边对等角）。

设 ∠B = x，则 ∠DAB = x；又 AD 平分 ∠CAB → ∠CAD = ∠DAB = x，故 ∠CAB = 2x。

Rt△ABC 中 ∠CAB + ∠B = 90° → 2x + x = 90° → x = 30°。

∠B = 30°（顺带：∠CAB = 60°，∠ACD 这一支全部打通）。

（2）解法一（常规）：Rt△BDE 中，∠BED = 90°，∠B = 30°，DE = 2。由"含 30° 角的直角三角形的性质"（30° 所对直角边等于斜边的一半），BD = 2DE = 4。

由（1）知 DA = DB = 4；Rt△ACD 中 ∠CAD = 30°，同理 CD = ½AD = 2（这里也印证了题给条件 AD = 2CD）。

∴ BC = BD + CD = 4 + 2 = 6。

解法二（任老师最优解，更漂亮）：

∵ AD 平分 ∠CAB，且 DC ⊥ AC（∠C = 90°，D 在 BC 上）、DE ⊥ AB，

∴ DC = DE = 2（角平分线上的点到角两边的距离相等）。

Rt△BDE 中 ∠B = 30° → BD = 2DE = 4。

∴ BC = BD + DC = 4 + 2 = 6。

点睛：条件"AD = 2CD"其实是多余的——Rt△ACD 中 ∠CAD = 30°，AD = 2CD 自动成立（不信你验：AD = 4，CD = 2，4 = 2×2 ✓）。命题人多给一个条件，一是降低难度，二是给你一条验算的路。

易错点

想不到 DA = DB：垂直平分线的性质用得少，一紧张就忘。看见"垂直平分"，立刻写"到两端距离相等"。
（2）里找不到 DC 与 DE 的关系：角平分线的性质要"两边都是距离"——DC ⊥ AC、DE ⊥ AB，两个垂直缺一不可，写全才能用。
把 30° 角用错三角形：Rt△BDE 里是 ∠B = 30°，Rt△ACD 里是 ∠CAD = 30°，别串。
求 BC 时写成 BC = BD − CD：D 在 BC 上，是相加。

分层卡点

冲优生（2）走解法二，四行出 6，还能指出 AD = 2CD 是多余条件。
中等生（1）顺利，（2）卡在 DC 与 DE 的关系。补一句口诀：**角平分线 + 两条垂线 = 两条相等的线段**。
基础生垂直平分线性质不熟，含 30° 直角三角形边角关系不会用。先把"30° 所对直角边等于斜边的一半"背死，再练十道。

破题角度本题两条"线"各给一条性质——垂直平分线给 DA = DB，角平分线给 DC = DE。几何综合题的常见套路就是两条特殊线各出一张牌，你负责把它们凑成一副。

答案（1）∠B = 30°；（2）BC = 6。

🔔 任老师思维点拨：初二几何有五把"万能钥匙"：角平分线的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线、三角形内角和。遇到综合题，先把这五把钥匙在心里过一遍，总有一把开锁。

今日一句工具箱里有什么，决定了你能解开什么。先把工具认全，再去谈难题。

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第 21 题角平分线综合（本题是第 20 题的升级版）

题面如图，OC 是 ∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为 D、E。点 F、G 分别在线段 OD、线段 OE 的延长线上，DF = EG，连接 PF、PG。

（1）求证：PF = PG；（2）求证：OF + OG = 2OE。

考点角平分线的性质（两个层次）+ SAS 与 HL 判定 + 线段的和差。

概念与解答：

（1）∵ OC 平分 ∠AOB，P 在 OC 上，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，

∴ PD = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。

∵ D、F 都在直线 OA 上，PD ⊥ OA，∴ ∠PDF = 90°；同理 ∠PEG = 90°。

在 △PDF 与 △PEG 中：

PD = PE（已证），∠PDF = ∠PEG = 90°，DF = EG（已知）

∴ △PDF ≌ △PEG（SAS） → PF = PG。

（2）在 Rt△PDO 与 Rt△PEO 中：PD = PE（已证），PO = PO（公共边）

∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO（HL） → OD = OE。

再按图形读线段：F 在 O 与 D 之间，G 在 E 的外侧，于是

OF = OD − DF，OG = OE + EG。

∴ OF + OG = (OD − DF) + (OE + EG) = OD + OE + (EG − DF) = OD + OE = 2OE。

（最后一步用到 DF = EG 与 OD = OE。）

易错点（本题最大的坑）：

F、G 的位置读错
。这是丢分的头号原因：按题面文字容易把 F 也理解成"在 D 的外侧"，那样 OF = OD + DF，算出来是 OF + OG = 2OE + 2DF，跟结论对不上，然后就开始怀疑题目出错。几何题的第一件事是读图：先在图上把 O、D、F 的顺序和 O、E、G 的顺序标清楚，再动笔。
（1）里误用 HL：HL 要的是"斜边 + 一条直角边"，而这里已知的是两条直角边 PD = PE、DF = EG，夹角是直角，所以是 SAS（若用 HL，得先知道斜边 PF = PG，那正是要证的结论，属于循环论证）。
（2）里忘了先证 OD = OE：这是 HL 的活儿，跳过就断链。
线段和差写反：OF = OD − DF（F 在中间），不是 OD + DF。

分层卡点

冲优生（1）SAS、（2）HL 各一步到位，还能指出"AD = 2CD"式的多余条件套路在本题变成了"位置陷阱"。
中等生（1）没问题，（2）卡在 OD = OE 或 F 的位置。补一句：**角平分线上一点到两边作垂线，垂足到顶点的距离也相等**。
基础生两个全等判定混着用。分清：SAS 是"两边夹一角"，HL 只用于直角三角形。

破题角度（2）的结论 OF + OG = 2OE 看着奇怪，其实是在说"两条线段一长一短，加起来刚好是两个 OE"。这种题的通用打法是：把每条线段都写成"基准 + 附加"的形式（OF = OD − DF，OG = OE + EG），附加项因为 DF = EG 正好抵消，剩下的就是 OD + OE。

答案（1）见证明（SAS）；（2）见证明（OD = OE，DF = EG）。

🔔 任老师思维点拨：本题是"角平分线"这一章的集大成：第一层用它得 PD = PE（点到边距离），第二层用它得 OD = OE（配 HL）。同一个定理用两次，一次比一次深——这就是综合题的样子。记住：读图永远先于读题面。

今日一句长一点、短一点，加起来刚好——生活里的公平，往往藏在加减法里。

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第 22 题动点全等（全卷第一道真正的"硬菜"）

题面如图，在 △ABC 中，点 D 是 AB 的中点，AB = AC = 10 cm，∠B = ∠C，BC = 8 cm。若点 P 在线段 BC 上以 3 cm/s 的速度从点 B 向终点 C 运动，同时点 Q 在线段 CA 上从点 C 向终点 A 运动。

（1）若点 Q 的速度与点 P 的速度相等，经过 1 s 后，请说明 △BPD ≌ △CQP；

（2）若点 Q 的速度与点 P 的速度不相等，当点 Q 的速度为多少时，能够使 △BPD ≌ △CPQ。

考点动点问题的线段表示（路程 = 速度 × 时间）+ 全等的 SAS 判定 + 对应关系的选择 + 解的合理性检验。

概念与解答：

先把"死数据"列出来：D 是 AB 中点 → BD = AD = 5 cm；BC = 8 cm。

（1）t = 1 s，两人都以 3 cm/s 运动：

BP = 3 × 1 = 3 cm，CQ = 3 × 1 = 3 cm → BP = CQ。

CP = BC − BP = 8 − 3 = 5 cm，又 BD = 5 cm → BD = CP。

夹在中间的角：∠B = ∠C（已知，因为 AB = AC）。

在 △BPD 与 △CQP 中：BP = CQ，∠B = ∠C，BD = CP → △BPD ≌ △CQP（SAS）。

（2）设点 Q 的速度为 v cm/s，运动 t s 后：BP = 3t，CQ = vt。

按 △BPD ≌ △CPQ 的对应关系（B ↔ C，P ↔ P，D ↔ Q），需要

BP = CP 且 BD = CQ。

BP = CP → 3t = 8 − 3t → 6t = 8 → t = 43 s；
BD = CQ → 5 = v × (43) → v = 154 = 3.75 cm/s。

检验：此时 BP = 4 < BC = 8 ✓，CQ = 5 < CA = 10 ✓，两点都还在边上，符合"在线段上运动"的要求。

答：点 Q 的速度为 154 cm/s（3.75 cm/s）。

易错点

对应关系找错
（本题最大陷阱）。同样的 △BPD，换个对应关系就完全是另一组方程：若按（1）的对应（B ↔ C，P ↔ Q，D ↔ P）去算，得到 BD = CP = 5 → BP = 3 → t = 1 → v = 3，恰好与"速度不相等"矛盾——题目特意用"速度不相等"这句话，就是逼你换对应。
忘写"检验"：动点题必须检查 t 时刻点是否还在规定线段上，否则会算出跑到线段外的荒唐解。
把 BD 算错：D 是 AB 的中点 → BD = AB/2 = 5，不是 BC/2。
用错路程公式：BP = 3t（从 B 出发），CP = 8 − 3t（剩下的），别搞反。

分层卡点

冲优生两问都不卡，还能主动写出"另一种对应得到 v = 3（舍去）"——这就是满分卷。
中等生（1）轻松，（2）卡在"为什么这次是 BP = CP"。记住：**对应关系由三角形字母顺序决定**，先把三组对应顶点写好再列方程。
基础生不会用 t 表示线段。练法：动点题第一步永远是画"t 秒时的草图"，把所有线段标成含 t 的式子。

破题角度动点全等题有固定四步——① 用 t 表示所有线段；② 把"全等"翻译成"对应边相等"的方程；③ 解方程；④ 检验范围。其中②最关键：同样的两个三角形，换一种对应就是另一道题。

答案（1）见说明（SAS）；（2）154 cm/s（3.75 cm/s）。

🔔 任老师思维点拨：动点题的本质是"把时间装进线段里"。所有线段都写成 v·t 之后，几何关系就自动变成了方程——这是初中数学最重要的一次思维升级：从"看图"到"列式"。过了这一关，函数、物理的运动学都不再可怕。

今日一句把时间写进线段里，静止的图就会动起来。会动起来的知识，才属于你。

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第 23 题秋千里的全等（生活应用）

题面小萌同学与爸妈周末去公园游玩——荡秋千。如图所示，小萌坐在秋千的起始位置 A 处，OA 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1 m 高的 B 处接住她后用力一推，爸爸在 C 处接住她。若妈妈与爸爸到 OA 的水平距离 BD、CE 分别为 1.4 m 和 1.8 m，∠BOC = 90°，爸爸在 C 处接住小萌时：

（1）判断 △OBD 与 △COE 是否全等，并说明理由；（2）求 C 处距离地面的高度。

考点全等的 AAS 判定 + 对应边的"交叉对应" + 生活情境的几何翻译。

概念与解答：

（1）△OBD ≌ △COE。理由：

∵ BD ⊥ OA，CE ⊥ OA，∴ ∠ODB = ∠OEC = 90°。

∵ ∠BOC = 90°，且射线 OD、OE 都在 OA 上、夹在 OB 与 OC 之间，∴ ∠BOD + ∠COE = 90°。

在 Rt△OBD 中，∠BOD + ∠OBD = 90°，对比上式得 ∠OBD = ∠COE；

在 Rt△COE 中，∠COE + ∠OCE = 90°，同理得 ∠OCE = ∠BOD。

又 OB = OC（同一根秋千绳，长度相等）。

在 △OBD 与 △COE 中：∠ODB = ∠CEO = 90°，∠BOD = ∠OCE，OB = CO

∴ △OBD ≌ △COE（AAS）。

（2）由全等得对应边相等（注意是交叉对应）：

OD = CE = 1.8 mOE = BD = 1.4 m

∵ BD 是水平的，∴ B 与 D 等高；B 距地面 1 m → O 点距地面 = OD + 1 = 1.8 + 1 = 2.8 m。

∵ CE 是水平的，∴ C 与 E 等高 → C 距地面 = 2.8 − OE = 2.8 − 1.4 = 1.4 m。

答：C 处距离地面的高度为 1.4 m。

（顺手验算：题面"同一根绳"直接给出 OB = OC，而我们用全等推出的 OD = CE = 1.8、OE = BD = 1.4 恰好与这两组交叉对应吻合——数据完全自洽 ✓）

易错点

对应边找错
（头号陷阱）。本题是"交叉对应"：BD 对应的是 OE，OD 对应的是 CE——因为 △OBD ≌ △COE 的顶点对应是 O ↔ C、B ↔ O、D ↔ E。写成 BD = CE 就全错了，可这两个数恰好是 1.4 和 1.8，看着"挺像"，最容易上当。
把"到 OA 的水平距离"当成"离地高度"：BD、CE 是水平方向的 1.4 和 1.8，不是高度。
漏掉"B 与 D 等高"这一步，高度就搬不过去。
忘了 OB = OC：这是"同一根绳"翻译出来的隐含条件，题目不会明说。

分层卡点

冲优生AAS 一次证完，交叉对应不出错，还能顺手验算自洽。满分。
中等生会证全等，但对应边写反。诀窍：**先把对应顶点写成上下两行对齐，再横着读对应边**，别凭感觉。
基础生生活情境读不进几何。练法：读题时拿笔把每一句话翻译成一个几何条件（"同一根绳"→ OB = OC），翻译完再做题。

破题角度应用题的三步翻译——① 把实物翻成几何元素（绳 → OB = OC，水平距离 → BD、CE，离地高度 → 竖直距离）；② 找全等；③ 用全等把已知量搬到未知量的位置。应用题难的从来不是几何，是翻译。

答案（1）全等（AAS）；（2）1.4 m。

🔔 任老师思维点拨：秋千、梯子、旗杆、河宽——初二的应用题就这四类模型。它们考的是同一件事：你能不能把生活里的东西，看成几何里的点、线、角。这个本事叫"建模"，比解一百道题都值钱。

今日一句会做题的人解的是题，会建模的人解的是生活。

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第 24 题双等腰"手拉手"探究（压轴）

题面在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形 △ABC 和 △AEF 创作几何艺术装置。其中 AB = AC，AE = AF，∠CAB = ∠EAF，BE 交 FC 于 O 点。请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题：

（1）直角风格的装置：如图 1，当 ∠CAB = 90° 时，求证：BE = CF，BE ⊥ CF；

（2）六十度风格的装置：如图 2，当 ∠CAB = 60° 时，求 ∠BOC 的度数；

（3）猜想：任意顶角的装置，当 ∠CAB = α 时（0° < α < 90°），∠BOC 的度数为＿＿＿（用含 α 的式子表示）。

考点共顶点等腰三角形的"手拉手"模型 + SAS 全等 + 对顶角三角形（8 字形）的角度传递。

概念与解答：

核心一步（三问通用）：

∵ ∠CAB = ∠EAF，∴ ∠CAB + ∠CAE = ∠EAF + ∠CAE，即 ∠BAE = ∠CAF。

在 △BAE 与 △CAF 中：BA = CA，∠BAE = ∠CAF，AE = AF

∴ △BAE ≌ △CAF（SAS） → BE = CF，且 ∠ABE = ∠ACF。

（1）上面已得 BE = CF。再看垂直：设 BE 与 AC 交于点 M（图中 M 在 B 与 O 之间）。

在 △ABM 中，∠BAM + ∠ABM + ∠AMB = 180°，其中 ∠BAM = ∠BAC = 90°，∠ABM = ∠ABE，

∴ ∠ABE + ∠AMB = 90°。

又 ∠AMB = ∠OMC（对顶角），∠ABE = ∠ACF = ∠OCM（O 在 CF 上），

∴ ∠OCM + ∠OMC = 90° → 在 △OCM 中，∠MOC = 180° − 90° = 90° → BE ⊥ CF。

（2）同样的角度链，把 90° 换成 60°：

∠ABE + ∠AMB = 180° − 60° = 120° → ∠OCM + ∠OMC = 120° → ∠MOC = 180° − 120° = 60°。

M 在 B 与 O 之间，故 ∠BOC = ∠MOC = 60°。

（3）∠BOC = α。

任老师最优解法（8 字形，一步到位）：

设 BE 与 AC 交于点 M。在 △ABM 与 △OCM 这一对"8 字形"三角形中：

∠AMB = ∠OMC（对顶角相等），∠ABM = ∠ABE = ∠ACF = ∠OCM（由全等得到）。

两个三角形已有两组角相等，第三组角必相等：∠BAM = ∠COM。

而 ∠BAM = ∠BAC = α，M 在 B、O 之间 → ∠COM = ∠BOC。

∴ ∠BOC = α。

把（1）（2）都装进这个结论：α = 90° → BE ⊥ CF（垂直）；α = 60° → ∠BOC = 60°。一招通吃三问，这就是模型的力量。

易错点

找不到 ∠BAE = ∠CAF：这一步是"同加 ∠CAE"，是整个模型的钥匙。看见"两个角相等 + 共顶点"，第一个念头就是同时加上中间那个公共角。
（1）里硬算角度而不用 8 字形：能算出来，但过程长、易错。
（3）猜成 180° − α：这是最常见的一个错误猜想。请用（2）验证——α = 60° 时答案是 60°，不是 120°。猜完一定要代回已知的特例检验，这是探究题的规矩。
忽略 0° < α < 90° 这个范围：在这个范围内交点 O 落在两条线段上，∠BOC = α；范围变了，图形的位置关系可能变化，结论要重新讨论。

分层卡点

冲优生一眼认出"手拉手"模型，8 字形一步写出 ∠BOC = α，三问十分钟收工。
中等生（1）能证，（2）会算，（3）猜错成 180° − α。补救：把（2）的结果当代入检验，猜完必验。
基础生共加公共角这一步想不到。先练熟"∠CAB = ∠EAF → ∠BAE = ∠CAF"这一个动作，它是整个模型的唯一入口。

破题角度三个识别标志，看到就该想到"手拉手"——① 两个三角形共顶点；② 都是等腰；③ 顶角相等。满足这三条，结论永远是两件事：拉手的两条线段相等（BE = CF），拉手的两条线夹角等于顶角（∠BOC = α）。

答案（1）见证明（SAS + 8 字形）；（2）60°；（3）∠BOC = α。

🔔 任老师思维点拨：这是全卷最能拉开差距的一题，也是最好拿分的一题——前提是你见过这个模型。"手拉手"（共顶点等腰旋转）是初中几何三大模型之一，另外两个是"一线三等角"和"半角模型"。把这三个模型各练五道，压轴题就不再神秘。记住任老师一句话：压轴题考的不是聪明，是见过。

今日一句所谓难题，多半是你没见过的熟题。见多识广，是最朴素的天赋。

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任老师总评：这张卷子，把话说透了

我把 24 题重新过了一遍，给你三句实话。

第一句：这张卷子的分，是"过程分"，不是"答案分"。 解答题 81 分，占全卷 67.5%。其中至少 40 分是"写对依据才给"的——第 14 题的五个空、第 18 题的 AAS、第 21 题的 SAS 与 HL、第 24 题的 8 字形。会证和写对，是两件事。很多孩子考完说"我都会，就是分不高"，八成栽在这里。

第二句：全等这一章，真正要过的是"对应"关。 第 21 题 F、G 的位置，第 23 题的交叉对应，第 22 题的两种对应关系——三道题都考同一件事：你能不能把对应关系搞对。这一关过了，全等就通了；过不了，做一百道也白搭。

第三句：动点和探究，考的是"模型量"。 第 22 题的动点、第 24 题的手拉手，都不需要多高的智商，需要的是"我见过"。这也是为什么我一直说：初二下学期开始，刷题要从"刷数量"转向"刷模型"。

最后给三个分数段各一句：

90 分以下
：别急着攻压轴。把第 14、15、16、18 这四道送分题（20 分）练到零失误，再把第 17、19、20 拿下，就到 90 了。
90—105 分
：你的瓶颈在第 21、22 题。重点练"对应关系"和"用 t 表示线段"，这两块补上，10 分就来了。
105 分以上
：你缺的是第 24 题这种探究题的"模型库"。把手拉手、一线三等角、半角三个模型吃透，冲 115。

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给家长的话

这份卷子发下来，请先看三个地方，再决定说什么。

一看"过程"，别只看分数。 同一道证明题，孩子写了三行和写了六行，暴露的问题完全不同。三行说明他"知道结论但说不清"，六行说明他"思路绕但能走通"——后者比前者好治得多。

二看"依据"那一栏。 第 14 题五个空、第 18 题的 AAS，只要依据写错，就是"定理没真正理解"。请孩子把写错的那个定理，用"如果……那么……"造三个句子。能造出来，就真懂了。

三看动点和探究题有没有动笔。 第 22、24 题如果完全空白，问题不在"难"，在"没见过"。这种情况不要批评，找模型、补见识就行——见过了，就不难了。

还有一句最要紧的：初二几何，孩子丢分的最常见原因不是笨，是生活里的因果逻辑转不成数学的严谨推理。他心里"知道是这样"，但写不出"因为……所以……"。这个坎，靠多做题是过不去的，靠的是把每一条推理链，一句一句落笔写清楚。请督促他：每道证明题，写完对照课本的定理，问自己一句"这一步的依据，我写得出名字吗"。

写得出，就真会了。

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