北京中考数学压轴 · 每周一题|第 6 期

四季读书网 2026-10-16 21:07:29 13 0

一个α，藏着两次 60°

从“看见角度”到“发现结构”：一道旋转几何题的完整拆解

同一个参数角α、一个中点、一次旋转和两条目标线段，看似分散。本题真正考验的不是复杂计算，而是能否把分散条件连接成一条可证明的结构链。

本期学习目标

① 看见“同一个 α”出现在不同位置时，知道怎样用直线与三角形内角和把它们放到同一条角度链上；

② 看见“60°＋两边相等”时，迅速把图形定性为等边三角形；

③ 看见“等边三角形＋中点＋旋转”时，不只追角，还能主动寻找旋转对应与全等关系。

如果把这道题真正吃透，你会得到一条很有价值的几何思维链：变量角→ 固定角 → 特殊图形 → 旋转对应 → 全等 → 长度关系。

阅读方式｜学生先独立完成题目 10—15 分钟，再按需查看提示；家长可直接参考第 07 节的家庭复盘。

01 本期题目先自己动笔，再看分析

已知：在等边△ABC 中，点 D 是 AB 的中点，点 E 是线段 BC 上一点。连接 DE，∠DEB＝α（30°≤α＜60°）。将射线 DA 绕点 D 顺时针旋转 α，得到射线 DQ。点 F 在射线 DQ 上，且 DF＝DE。连接 FE、FC。

（1）补全图形；（2）求∠EDF 的度数； （3）用等式表示 FE 与 FC 的数量关系，并证明。

图 1｜先补全图形，再继续往下看。

做题前 30 秒：先把图补对

作图自检｜先排除方向性错误

① ∠DEB 由 ED 与 EB 夹成；② DQ 由 DA 顺时针旋转 α 得到；③ F 同时满足 F∈DQ、DF＝DE。位置检验：E＝C 时 α＝30°，E 取 BC 中点时 α＝60°；因此题设 30°≤α＜60°使 E 落在BC 的右半段。射线DA 再顺时针旋转 α，得到的 DF 会向右侧展开，F 在 △ABC 的外侧。

02知识地图这道题涉及哪些知识点

如果只按“知识点清单”看，这道题并不超纲；难点在于这些知识点不是并排出现，而是前一个结论会激活后一个结构。建议把它们理解成一张“触发地图”。

知识点	看到什么要想到什么	本题中的落点
等边三角形	60°既是角度信息，也是旋转的“开关”	∠ABC=60°；后续两个特殊结构都围绕 60°展开
三角形内角和＋邻补角	同一个参数角分散在不同位置，要先把它们串成角度链	把α 从 E 点“搬”到 D 点，让变量抵消
两边相等＋夹角 60°	不要停在“等腰”，应立刻判断是否等边	DE=DF 与固定的 60°共同把 △DEF 定型
中点＋中位线	中点条件常常是后半问才启动的“隐藏开关”	补 BC 中点 M，可得到第二个等边三角形 △DBM
旋转性质	旋转不只保角，还保距离、保对应线段	同一个 60°旋转建立 B→M、E→F 的对应
SAS 全等	目标线段不好直接比，就借“中间量”转移	用全等把 DE 与 CF 接起来，完成长度传递

03这道题真正考什么不是条件越多，知识点越杂

观察题面，至少有四次“信息升级”。能否主动完成这些转换，才是本题最值得训练的地方。

已知条件	需要作出的判断	可检验的能力
同一个α 出现两次	先利用内角和把两处α 串成角度链	能分清变量角与固定角
DE＝DF 与固定角	两边相等还不够，要检查 60° 是否为夹角	能准确识别特殊三角形
D 是 AB 中点	后半问可能还需要另一个中点，构造可用的等边结构	能有目的地添加辅助线
求 FE 与 FC 的关系	目标边不好直接比时，先寻找可替代的等量	能建立旋转对应与 SAS 全等

一条贯穿全题的结构链

角度相消→ 得到定角 → 确定等边 → 构造第二个等边 → 同向旋转 → SAS 全等 → 线段相等

04分层破题提示读到哪一级就停，不必一次看完

提示① 轻提示	第（2）问先看△BDE，不要直接盯着 F。能否先算出∠ADE，再考虑旋转角？
提示② 结构提示	一旦知道△DEF 是等边三角形，原目标 FE 与 FC 可以先改写成哪两条线段相等？
提示③ 辅助线提示	当 D 是 AB 中点时，在 BC 上取中点 M，连接 DM。△DBM 是什么图形？把 B、E 分别旋转到哪里？

建议在这里暂停。如果孩子已经能独立说出“为什么补中点”和“准备让哪两组三角形全等”，不妨先盖住后文，独立写一遍第（3）问。

05思路深读：真正的两个突破口从计算到结构

突破口一｜α 不是要求出来的，而是要消掉的

因为△ABC是等边三角形，且 D 在 AB 上、E 在 BC 上，∠DBE＝60°。在△BDE中：

∠BDE＝180°－60°－α＝120°－α

由 A、D、B 三点共线，得∠ADE＝60°＋α；由射线旋转得∠ADF＝α。结合图中的射线顺序：

∠EDF＝∠ADE－∠ADF＝60°

要点不是“凑出 60°”，而是通过内角和、邻补角，把原本位于不同顶点的同一个α 放进可相减的角度关系中。这样得到的 60° 不受 α 具体取值的影响。

突破口二｜长度目标先“换边”，再找对应

已知 DE＝DF，且刚得到∠EDF＝60°。注意这个 60°正是 DE、DF 的夹角，因此△DEF是等边三角形：

DE＝DF＝FE

于是，要证的 FE＝FC 就转化为 DE＝FC 。这不是绕路，而是把难以直接比较的两条目标边，转化为更容易放进全等三角形的一组对应边。

为什么偏偏取 BC 的中点 M？不是死记辅助线，而是倒推所需结构

从 DE＝CF 倒推，我们希望将 DE、CF 放入一对全等三角形。已知 E 绕 D 逆时针转 60°会到达 F；那就继续寻找：有没有一个与 B 对应、又能借助 C 完成全等的点？

取 BC 的中点 M，连接 DM。由于 D、M 分别是等边△ABC 的 AB、BC 中点，DM 是中位线，立刻得到：

DB＝BM＝DM＝CM＝½BC

所以△DBM 也是等边三角形。一个中点 M 同时完成了两项任务：既让 B 能绕 D 旋转 60° 到 M，又提供 SAS 所需的等长边 DB＝CM。

旋转对应要逐项写清：以 D 为中心逆时针旋转 60°，B→M、E→F，所以 BE＝MF。又因为 BE、MC 都沿 BC 向右，MF 是 BE 旋转 60°后的像，故∠CMF＝60°＝∠DBE。

DB＝CM，BE＝MF，∠DBE＝∠CMF＝60°

△DBE ≌ △CMF（SAS） ⇒ DE＝CF ⇒ FE＝FC

最容易漏写的一句

“∠CMF＝60°”不能只凭图形看着像就直接使用；应说明它来自同一 60°旋转，且 BE 与 MC 方向相同。SAS 使用的必须是两组相等边的夹角。

06再深一层：哪些条件决定了结论？把一题变成可迁移的方法

思考 A｜α 变化，结论为什么不变？

α 在（30°，60°）内变化时，点 E 和 F 的位置、线段 DE 的长度都可能改变，但“∠EDF＝60°”与“FE＝FC”仍然成立。原因不在于图形画得像，而在于前面的推理对区间内任意允许的 α 都有效。

思考 B｜把“D 是中点”删掉，会发生什么？

第（2）问的追角只需要 D 位于 AB 上，并不需要 D 恰好是中点；因此只要相应的点和角按题意构成，仍可推出∠EDF＝60°。但第（3）问用到的 DB＝CM、△DBM等边等关系就失去保证，FE＝FC 不再能由原证明直接推出。

真正值得追问的是：“某个条件在哪一步第一次被使用？删掉后是结论真的失效，还是只是当前证法失效？”这两种情况应当区分，不能混为一谈。

三处常见失分点

角度位置	直接写“60°－α”而未说明角的位置；正确做法是先通过△BDE与邻补角得到∠ADE。
等边判定	只记“有 60°且两边相等就是等边”，忽略这个 60°必须是两条相等边的夹角。
全等表达	先写“显然全等”，再找依据；正确做法是先写清 DB＝CM、BE＝MF、夹角相等和对应顶点。

07家长怎么判断：孩子是真的会了，还是看懂了？ 20 分钟即可实施

不建议家长要求孩子把整篇解析背下来。更有效的检查是：合上答案，让孩子独立复现关键判断，并讲出每一步依赖的条件。下面这套流程可以在家直接照做。

时间	孩子要做什么	完成标准
2 分钟	复述题意并重画示意图	能判断旋转方向、等长条件和 E 的位置
6 分钟	不看答案求出∠EDF	能说明α在哪里相消；不依赖量角器
8 分钟	独立写完第（3）问	能解释为什么取M，并规范写出SAS
4 分钟	回答一个变式追问	知道“α变结论不变”“删中点会断哪一环”

出现以下卡点，下一步练什么？

会看不会画	回到题面，只练角的定义、射线的顺时针方向和“F∈DQ且DF＝DE”；暂时别练最后一问。
会求角不会证边	只练“FE＝DE，所以转证DE＝CF”这一目标替换；让孩子说出为什么要寻找全等。
会说全等写不全	在两三角形下依次标记 D↔C、B↔M、E↔F，逐项列 SAS 条件，重点核查夹角。
当场会、隔天不会	隔一天只给原题，限时复现关键证明；先自查遗漏哪条条件，再回看对应部分。

家长只需要问三句话

“你这一步用了哪个已知？” “如果不告诉你 M，能不能说出为什么需要它？” “α 换一个允许的值，你认为哪里变、哪里不变？”

08本期考点复盘用四句话带走解题方法

① 找变量链	同一α 分散在不同位置，先用内角和、邻补角把它们连接起来。
② 找定形点	两边相等与其夹角 60°结合，得到等边三角形，实现目标边替换。
③ 找辅助结构	辅助点应同时解决“旋转对应”和“SAS所需等长边”，而非看见中点就机械连线。
④ 写证明闭环	对应点、对应边、对应角逐项核查；最后以全等完成等量传递。