题目

在平面直角坐标系中，把抛物线 y = ⅓x² 平移，所得新抛物线经过点 A(0, −5/3) 和 B(5, 0)。

（1）求平移后新抛物线的表达式；

（2）直线 x = m（m > 0）与新抛物线交于点 P，与原抛物线交于点 Q。① 若 PQ < 3，求 m 的取值范围；② 记点 P 在原抛物线上的对应点为 P′，若四边形 P′BPQ 有一组对边平行，求点 P 的坐标。

两分钟视频精讲

关键三步

1. 平移不改变开口方向，二次项系数仍是 ⅓。代入 A、B 两点解得 b = −4/3、c = −5/3，配方得 y = ⅓(x − 2)² − 3。
2. P、Q 横坐标相同，PQ 就是纵坐标之差：PQ = 4/3·m + 5/3。令 PQ < 3 得 m < 1，结合 m > 0，得 0 < m < 1。
3. 平移向量为 (2, −3)，故 P′(m − 2, y_P + 3)。令 BP′ 竖直、与始终竖直的 PQ 平行，得 m − 2 = 5，即 m = 7。

答案

（1）y = ⅓x² − 4/3·x − 5/3；（2）① 0 < m < 1；② P(7, 16/3)。

易错提醒

另一组平行（P′Q ∥ BP）会解出 m = 3，但此时 BP′ 与 PQ 相交、四边形自交，必须舍去 —— 这一步是本题最大的丢分点。

小结

交点的竖直距离用坐标差；平移前后的对应点用平移向量。每天一道压轴题，跟着慧题坊练。

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