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高考数学正四面体中考频最高六大核心结论
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高考数学正四面体中考频最高六大核心结论一．基本原理：将正四面体放在正方体中 主要结论： 1. 正四面体的每一个面是正三角形，反之亦然. 2. 正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体. 3. 正四面体的对棱中点的连线都互相垂直且相等，等于棱长的√2/2倍，反之亦真. 4. 正四面体的外接球与正方体外接球相同，于是： 如图，将正四面体ABCD放入正方体中，因为正四面体ABCD的棱长为a，所以正方体的棱长为（√2/2）a，显然正四面体和正方体有相同的外接球。正方体外接球半径为（√2/2）a·（√3/2）=（√6/4）a，即正四面体外接球半径R外接=（√6/4）a. 6. 由正四面体的对称性与球的对称性可知，正四面体的外接球、内切球、棱切球的球心都与正四面体的中心重合，如图所示，设正四面体A-BCD的高为AG，O为正四面体的中心，连接CG并延长交BD于点E，连接OC，OE，则外接球的半径R=OA=OC.由题意可得 正四面体就是4个面全是一模一样等边三角形的立体图形.它对称性特别强，三组对着的棱互相垂直.做题有个好用技巧：把它塞进正方体里面去看，很多问题一下子就简单了.下面假设每条棱长都是a，一条一条讲： 结论1 正四面体的高 h=（√6/3）a. 底面是边长a的等边三角形.底面中心点，到底面三角形任意一个顶点的距离是（√3/3）a. 从最顶上的顶点，往底面中心点拉一条竖线，这条线就是高.用勾股定理算：斜边是棱长a，一条直角边是底面中心到顶点距离，就能算出高.这个高是后面算体积、内外球半径的基础. 结论2 内切球半径 r=（√6/12）a. 内切球就是整个球包在四面体内部，刚好贴着4个面球心到4个面距离全都一样. 用体积法理解：把正四面体切成4个一模一样的小三棱锥，球心是公共顶点.内切球半径等于正四面体高的1/4. r=h/4=（√6/12）a，也可以用相似三角形算出一样结果. 结论3 外接球半径 R=（√6/4）a. 外接球，就是把整个正四面体刚好装在球里面，4个顶点全部落在球面上.球心就在刚才那条高线上，球心到4个顶点距离相等. 外接球半径等于高的3/4，R=3h/4=（√6/4）a.也可以列勾股方程求解. 小技巧：把正四面体补进正方体，它们共用同一个外接球，正方体棱长是（√2/2）a，算球半径更快. 结论4 体积 V=√2a³/12. 先算底面等边三角形面积：（√3/4）a² 棱锥体积公式=三分之一 ×底面积 ×高.把上面求出的高代进去，直接算出体积. 结论5 表面积 S=√3a². 一共4个完全相同的等边三角形面。单个面面积（√3/4）a²，4个面加起来，就是总表面积. 结论6 一对对着的棱（异面棱）之间距离 d=（√2/2）a. 取这两条异面棱各自的中点，把两个中点连一条线段.这条线段同时垂直这两条棱，线段长度就是异面棱距离。 可以勾股定理直接算，或者用补正方体的办法：异面棱距离就等于外面这个正方体的棱长. 结论7 相邻两个面的二面角，余弦值cosα=1/3. 两个面贴在一起，共用一条棱.取这条公共棱的中点，分别在两个面上连线，做出二面角.再套余弦定理计算，最后算出来这个角的余弦固定就是1/3，不管棱长多少. 结论8 侧棱和底面夹角，余弦值cosβ=√3/3. 侧棱和底面的夹角，就是这条棱，和它在底面上投影的夹角. 投影长度，就是底面中心到底面顶点距离.邻边/斜边，就能得到这个角的余弦. 棱切球半径 r棱=（√2/4）a，棱切球会和6条棱全部相切. 正四面体的外接球、内切球、棱切球，三个球的球心是同一个点，都在几何体正中心. 对棱中点连线互相垂直，长度都是（√2/2）a. 做题提醒： 小题可以直接背公式拿来用.遇到正四面体题目，优先想补成正方体，处理垂直、外接球会省事很多，是高中立体几何必考模型. 鲸鱼快印丨资料文件 极速打印
