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第2天·2024新高考I卷·导数与不等式证明
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第2天·2024新高考I卷·导数与不等式证明 来源：2024年新课标全国I卷·第18题（解答题） 考点：含参函数单调性讨论、不等式恒成立证明 分值：17分 建议用时：15-18分钟 难度：⭐⭐⭐⭐ 题目 已知函数f(x)=ln x+ax-1（a∈R）。 （1）讨论f(x)的单调性； （2）若f(x)≤x²-1对任意x>0恒成立，求a的取值范围。 手写区 （请先独立完成，再往下翻看解析） 解析 第（1）问：讨论单调性 第一步：写定义域 f(x)=ln x+ax-1，定义域为(0,+∞)。 第二步：求导 f'(x)=1/x+a=(1+ax)/x。 第三步：分类讨论 因为x>0，所以f'(x)的符号由分子1+ax决定。 情况一：a≥0 当a≥0时，1+ax>0恒成立（因为x>0），所以f'(x)>0恒成立。 f(x)在(0,+∞)上单调递增。 情况二：a<0 令f'(x)=0，得1+ax=0，即x=-1/a。 当0<x<-1/a时，1+ax>0，f'(x)>0，f(x)递增。 当x>-1/a时，1+ax<0，f'(x)<0，f(x)递减。 所以f(x)在(0,-1/a)上递增，在(-1/a,+∞)上递减。 第（1）问结论： 当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增。 当a<0时，f(x)在(0,-1/a)上单调递增，在(-1/a,+∞)上单调递减。 第（2）问：不等式恒成立 第一步：转化为最值问题 f(x)≤x²-1对任意x>0恒成立。 即ln x+ax-1≤x²-1。 移项得：ax≤x²-ln x。 因为x>0，两边同除以x：a≤x-(ln x)/x。 令g(x)=x-(ln x)/x，问题转化为a≤g(x)对任意x>0恒成立。 即a要小于等于g(x)的最小值。 第二步：求g(x)的最小值 g(x)=x-(ln x)/x。 求导：g'(x)=1-[(1/x)·x-ln x·1]/x²=1-(1-ln x)/x²=(x²-1+ln x)/x²。 令h(x)=x²-1+ln x，x>0。 h'(x)=2x+1/x>0恒成立。 所以h(x)在(0,+∞)上单调递增。 h(1)=1-1+0=0。 所以当0<x<1时，h(x)<0，即g'(x)<0，g(x)递减。 当x>1时，h(x)>0，即g'(x)>0，g(x)递增。 所以g(x)在x=1处取得最小值。 g(1)=1-0/1=1。 第三步：得出结论 因为a≤g(x)恒成立，且g(x)的最小值为1，所以a≤1。 第（2）问答案：a≤1。 易错点提醒 第一个坑：第（1）问忘记讨论a的符号。 很多同学看到f'(x)=1/x+a，直接写f'(x)>0，忽略了a可能为负数的情况。必须分a≥0和a<0两种情况讨论。 第二个坑：第（2）问分离参数时不等号方向搞反。 由ax≤x²-ln x两边同除以x（x>0），得到a≤x-(ln x)/x，不是a≥。因为x>0，不等号方向不变。 第三个坑：g'(x)的导数算错。 g(x)=x-(ln x)/x，求导时需要用商的导数公式，不能漏掉。 第四个坑：忘记验证h(1)=0。 h(x)=x²-1+ln x，h(1)=0。这个关键点决定了g(x)的单调性分界。如果漏掉，就无法确定g(x)的最小值在x=1处取得。 真题规律总结 2024新高考I卷的导数题延续了“含参讨论+不等式恒成立”的经典模式。第（1）问考查分类讨论的完整性，第（2）问考查分离参数法和构造函数求最值。 关键得分点：第（1）问的定义域、求导、分类讨论；第（2）问的分离参数、构造函数、求导、找最值。每一步都有分，即使最后算不出来，前面的步骤也能拿分。 备考建议：含参单调性讨论必须练到“不漏情况”，分离参数后构造函数求最值是固定套路，平时多练。
