初二基础篇 | 角的平分线：性质+判定+尺规作图全攻略（12题精练）
初中数学 · 八上第14章 · 基础篇
📌 本讲导读
角的平分线是初中几何里第一条"免全等"的性质——只要图中有平分线 + 两条垂线，就能直接写"距离相等"，不必再绕全等证明。本讲三件套：性质（平分线上的点到两边距离相等）、判定（角内部到两边距离相等的点在平分线上）、尺规作图（依据 SSS）。⚠️ 两个高频坑：性质使用前必须先作垂线；判定必须在角的内部。
一、知识清单
1. 角的平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
⚠️ 三点注意：①"距离"指垂线段的长，用前要先作垂线；②该性质可独立作为证明线段相等的依据，不必再证全等；③前提是图中"有平分线 + 有垂直"。
常见辅助线：由平分线上的已知点向两边作垂线段，用相等来推其他结论。
2. 角的平分线的判定
角的内部到角的两边距离相等的点，在角的平分线上。
⚠️"角的内部"是关键词——角的外部的点到两边距离也可能相等，但不在平分线上（在角的另一条外角平分线上）。
性质与判定是互逆关系：性质用来"由平分线得相等"，判定用来"由相等得平分线"。
3. 尺规作已知角的平分线
① 以 O 为圆心、适当长为半径画弧，交 OA 于 M、OB 于 N；② 分别以 M、N 为圆心、大于 ½MN 的长为半径画弧，两弧在角内部交于 C；③ 画射线 OC，即为所求。
作图依据：SSS——连接 MC、NC，则 OM=ON、MC=NC、OC=OC，得 △OMC≌△ONC。
🔑 记忆卡："平+垂 ⇒ 等距"（性质），"等距+内部 ⇒ 平分"（判定），"尺规作图靠 SSS"。三条线一起记，考场不慌。
二、题型精讲
题型一性质求长度（等面积法）
如图，Rt△ABC 中 ∠C=90°，AC=6，BC=8，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D，DE⊥AB 于 E，求 DE 的长。
💡 思路：由性质得 DE=DC，设 DE=DC=x。勾股定理求 AB=10，再用面积两种算法：S△ABC=½×6×8=24，又 S△ABC=S△ACD+S△ABD=½×6x+½×10x=8x，故 8x=24，x=3。角平分线+面积法是求距离的万能钥匙。
题型二性质求角度（两内角平分线交角）
△ABC 中，∠ABC 与 ∠ACB 的平分线交于点 O，若 ∠A=60°，求 ∠BOC。
💡 思路：∠OBC=½∠ABC，∠OCB=½∠ACB，故 ∠OBC+∠OCB=½(180°−∠A)=60°；∠BOC=180°−60°=120°。结论式：两内角平分线的交角 ∠BOC=90°+½∠A（可当公式记）。
题型三判定：由等距反推平分线
如图，点 P 在 ∠AOB 内部，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD=PE，求证：OP 平分 ∠AOB。
💡 思路：连 OP，在 Rt△OPD 与 Rt△OPE 中，OP=OP、PD=PE，由 HL 得全等，故 ∠DOP=∠EOP，即 OP 平分 ∠AOB。注意先说明"P 在角内部"，否则判定不成立。
三、考点速查表
四、巩固 12 题
OC 平分 ∠AOB，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于 D，若 PD=3，则点 P 到 OB 的距离为______。 下列说法正确的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．到角两边距离相等的点在角平分线上，不需要"在角内部"
C．角平分线上的点到角两边的线段相等
D．角平分线的性质必须再证一次全等才能用Rt△ABC 中 ∠C=90°，AC=6，BC=8，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D，DE⊥AB 于 E，则 DE=______。 用尺规作已知角的平分线，其作图依据是全等三角形的判定方法______。 点 P 在 ∠AOB 的内部，且到 OA、OB 两边的距离相等，则点 P 在______上。 △ABC 中 ∠C=90°，AD 平分 ∠BAC，CD=3，AB=12，则 △ABD 的面积为______。 △ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 O，若 ∠A=70°，则 ∠BOC=______。 如图，AD 平分 ∠BAC，DE∥AB 交 AC 于 E，若 ∠ADE=40°，则 ∠BAC=______。 三条公路两两相交围成一个三角形区域，要在区域内建一个加油站，使加油站到三条公路的距离相等，则应建在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点要在 ∠AOB 内部找一点 P，使 P 到 OA、OB 的距离相等，且到两个入口 M、N 的距离也相等，P 应是______与______的交点。 ∠AOB=60°，OC 平分 ∠AOB，P 是 OC 上一点且 OP=4，则点 P 到 OA 的距离为______。 △ABC 的面积为 24，周长为 12，点 O 是三条角平分线的交点，则点 O 到 AB 的距离为______。
五、逐题解析
- 3
。角平分线上的点到两边距离相等 ⇒ P 到 OB 的距离 = PD = 3。⚠️ 前提是"P 在平分线上"，无需再作全等。 - A
。B 错：判定必须在角内部；C 错：是"垂线段"（距离）相等，不是任意线段；D 错：该性质可独立使用，无需再证全等。 - 3
。AB=√(6²+8²)=10；设 DE=DC=x，由面积 ½×6×8=½×6x+½×10x ⇒ 24=8x ⇒ x=3。 - SSS
。连接 MC、NC，OM=ON、MC=NC、OC 公共，三边对应相等。⚠️ 易错写成 SAS——这里已知的是两组边+公共边。 - ∠AOB 的平分线
。判定的直接应用，注意题干已给"在 ∠AOB 的内部"这一前提。 - 18
。DE=DC=3（AD 平分 ∠BAC，且 ∠C=90°，D 到 AB 的垂线段与 DC 相等），S△ABD=½×AB×DE=½×12×3=18。 - 125°
。∠OBC+∠OCB=½(180°−70°)=55°，∠BOC=180°−55°=125°。也可用公式 90°+½×70°=125°。 - 80°
。DE∥AB ⇒ ∠BAD=∠ADE=40°（两直线平行，内错角相等）；AD 平分 ∠BAC ⇒ ∠BAC=2∠BAD=80°。 - A
。到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点（内心）。三条高的交点是垂心，垂直平分线交点是外心，中线交点是重心。 - ∠AOB 的平分线；线段 MN 的垂直平分线
。到两边等距 → 角平分线；到两点等距 → 垂直平分线，两者的交点即为所求 P。 - 2
。∠AOC=30°，过 P 作 OA 的垂线，Rt△ 中 30° 角所对直角边等于斜边一半：4×sin30°=2。⚠️ 垂线段最短，这里的"距离"就是垂线段长。 - 4
。角平分线交点到三边距离相等，设为 r，用面积分割：S=½r·(AB+BC+CA)=½r·周长 ⇒ 24=½×12r ⇒ r=4。
🧠 方法速记卡
① 平+垂 ⇒ 等距：图中有平分线和垂直，直接写相等，不必绕全等；
② 求距离用等面积：设距离为 x，用两种算法列方程（½AC·DC + ½AB·DE = 总面积）；
③ 等距 + 内部 ⇒ 平分：判定定理三步走（连 OP → HL 全等 → 得角等）；
④ 两内角平分线交角 = 90°+½∠A；两外角交角 = 90°−½∠A；
⑤ 尺规作图依据 SSS；
⑥ 到三边等距找三条角平分线交点；到两边等距 + 到两点等距找角平分线与垂直平分线交点。
初数轻松学 · 八上第14章 基础篇 · 配套小红书 12 题自测见同名笔记
