2026年连云港中考数学27题，几何综合大题，文末动图演示。
(1)小问，知识点：同弧所对圆周角相等、互补角性质、三角形全等及性质、两点之间线段蕞短
思路：将P点到A、B、C的距离和转换为BP+PP'+P'D的和，显然蕞小值为过P的线段BD
∵∠ADP'与∠ACP是弧AP所对的圆周角
∴∠ADP'=∠ACP
同理∠APD=∠ACD=60°、∠DAC=∠DPC=60°
∵PP'=AP
∴△APP'是等边三角形
∴∠AP'P=∠APP'=60°，AP=PP'
∴∠APC=∠APP'+∠DPC=60°+60°=120°
∵∠AP'P=60°
∴∠AP'D=180°-∠AP'P=120°
∴△APC≌△AP'D(AAS)
∴PC=P'D
∴PB+PA+PC=BP+PP'+PD'=BD
(2)(2)小问，作法：如图，连接AB，在AB上方作等边三角形ABD，再作△ABD的外接圆，过点D作DM⊥l，垂足为M，DM交AB于N，交圆于点P，点P即为要作的点．
∴点P到点A、点B、直线l的距离之和为DM的长
∵点A，B到直线l的距离AE＝BF＝4
∴AE∥BF，AE＝BF
∴四边形AEFB是平行四边形
∴AB＝EF＝6，AB∥EF
∴MN＝AE＝4
∵DM⊥EF
∴DN⊥AB
∵△ABD是等边三角形
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝6
在Rt△AND中，DN=AD⋅sin∠DAB=6⋅sin60°=6×√3/2=3√3
∴DM=DN+MN=3√3+4
∴点P到点A、点B、直线l的距离之和蕞小值为3√3+4
(3)小问，如图所示，分别以边AB和边CD向矩形外侧作等边三角形ABM和等边三角形CDN，再作△ABM和△CDN的外接圆
连接M，N，分别交两圆于点P1和点P2
连接AP1，BP1，CP2，DP2
∴AP1+BP1+P1P2+CP2+DP2＝MN，此时管道长度达到蕞小，蕞小值为MN
∵三角形ABM为等边三角形，AB＝a
∴∠MAB＝60°，AM＝a，∵AB⊥MN
∴ME＝AM•sin60°=√3/2a，同理可求得NF为√3/2 a
∴MN＝ME+NF+EF＝2×√3/2a+b=√3a+b
同理M'N'=√3b+a
∵M'N'-MN=√3b+a-(b+√3 a)=√3(b-a)+(a-b)=√3(b-a)-(b-a)=(b-a)(√3-1)＞0
∴M'N'＞MN
∴MN的长即为管道路线总长度的蕞小值，蕞小值为b+√3 a
