初一数学难点:一道月考压轴,看懂绝对值与动点分类讨论

四季读书网 2026-10-10 09:09:59 8 0

刚结束月考，这道压轴题给我留下很深的印象。全班50个孩子，只有5位同学拿到满分。

看着卷子就能发现，大部分孩子不是完全不会，而是卡在绝对值几何意义、动点列式、分类讨论漏解这几个地方。

下面我就从考点入手，一步步拆解这道题，带大家看懂这类数轴动点大题的思考逻辑：

① 看到绝对值+平方相加等于0，优先用非负性求出定点；

② 遇到绝对值求和，优先考虑几何意义，也就是数轴上两点之间的距离，不用分段去绝对值化简；

③ 动点题三步走：用时间t表示动点对应的数 → 两点距离用绝对值列式 → 分类讨论，避免漏解。

建议先让孩子独立完成，做完之后再对照解析复盘，找到自己丢分的地方。

先看看我们月考的最后一道大题

如图，A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，且|a+3|+(b-9)²=0，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|。点O为原点，点C在数轴上O、B两点之间，且OC=2。

(1) 直接写出a=________ ，b= ________ ，点C所对应的数是____；

(2) 设动点M表示的数为m，点M在数轴上运动

①当动点M在点A与点B之间运动时（包含端点），则|m-(-3)|+|m-9|=________。

②若数轴上比m小2的数用d表示，比m大5的数用e表示，则|d-2|+|e+5|的最小值是________。

(3)若动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，当点P与点Q的距离是5个单位长度时，求t的值；

我们下面挨着解析这道大题

(1)非负数的性质

当碰到绝对值和平方数时我们要首先考虑到它的非负性，绝对值和平方数都具备非负性，也就是|a+3|≥0，(b-9)²≥0。

两个非负数相加等于0，只有一种可能：两个式子分别等于0。

a+3=0

b-9=0

解得：a=-3，b=9。

点C在原点O和点B之间，OC=2，在原点右侧，所以点C代表的数字是2。

(2)① 绝对值的几何意义

|m-(-3)|+|m-9|，我们要首先知道点M到A(-3)的距离 + 点M到B(9)的距离。

当点M落在A、B两点之间（包含端点），两段距离相加，刚好等于A、B两点之间的总长度。

AB=9-(-3)=12，所以式子结果为12。

做题小技巧：遇到|x-a|+|x-b|的形式，优先用几何意义解题，不用分段打开绝对值。

(2)② 绝对值求和最小值

根据题意：

d是比m小2的数：d=m-2

e是比m大5的数：e=m+5

代入原式：

|d-2|+|e+5|=|(m-2)-2|+|(m+5)+5|

=|m-4|+|m+10|

|m-4|+|m+10|代表：数轴上数m对应的点，到4和-10这两个点的距离之和。

当m在-10与4之间（包含端点），距离之和取得最小值，最小值等于两点之间的距离：

4-(-10)=14。

(3) 数轴动点、两点距离公式、分类讨论

动点核心方法：向左运动，数字不断变小，动点表示数 = 起点 − 速度×时间

点P：起点C=2，速度每秒1个单位向左，t秒后：2-t

点Q：起点B=9，速度每秒2个单位向左，t秒后：9-2t

数轴两点距离公式：两点之间距离 = 两数之差的绝对值

PQ=|(2-t)-(9-2t)|=|t-7|

题目要求两点距离等于5：

|t-7|=5

很多同学在去掉绝对值上卡点当去掉绝对值时必须分两种情况进行讨论

① t-7=5，解得t=12：Q追上P之后继续向左移动，Q跑到P左侧，两点相距5；

② t-7=-5，解得t=2：Q还没有追上P，Q在P右侧，两点相距5。

t=2或t=12

答案

(1) a=-3，b=9，点C对应的数是2(2)① 12；②14(3) t=2或t=12

⚠️易错提醒：同向运动的动点，相距固定长度，一定存在两种情况，很多孩子只会算出一个答案，漏解丢分，也是本次月考最大的失分点！

整道题核心思路总结

1. 看到| |+( )²=0，立刻想到非负数性质，先求出数轴上定点，这是整道题的基础。

2. 绝对值相加题型，优先使用几何意义（距离模型），不用硬拆绝对值，简化计算。

3. 数轴动点固定三步：

① 用时间t写出动点对应的代数式

② 两点距离利用绝对值列式

③ 去掉绝对值，分类讨论求解，防止漏解。

学习建议：让孩子对照月考独立做一遍这道题，做完再对照解析，重点弄懂分类讨论的两种情况，整理到错题本。

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文章来源：四季读书网