2026年10月高等教育自学考试(线性代数(经管类))(课程代码 04184)试卷·附答案解析

说明：在本卷中，Aᵀ 表示矩阵 A 的转置矩阵，A* 表示矩阵 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A| 表示方阵 A 的行列式，r(A) 表示矩阵 A 的秩。

1．设 A 为 3 阶方阵，其行列式 |A| = －2，则 |－2A| = （　　）。

A．－4

B．－8

C．－16

D．16

2．设 A、B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列结论中正确的是（　　）。

A．(AB)ᵀ = AᵀBᵀ

B．(AB)⁻¹ = A⁻¹B⁻¹

C．(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹

D．(A＋B)² = A²＋2AB＋B²

3．设向量组 α₁，α₂，α₃ 线性相关，则下列结论中正确的是（　　）。

A．α₁，α₂，α₃ 中至少有一个向量可由其余向量线性表出

B．α₁ 必可由 α₂，α₃ 线性表出

C．α₁，α₂，α₃ 中任意两个向量都线性相关

D．α₁，α₂，α₃ 中一定不含零向量

4．设 A 为 m×n 矩阵，A|b 为其增广矩阵，则非齐次线性方程组 Ax = b 有唯一解的充要条件是（　　）。

A．r(A) = r(A|b) < n

B．r(A) = r(A|b) = n

C．r(A) = r(A|b)

D．r(A) < r(A|b)

5．设 3 阶矩阵 A 与 B 相似，且 A 的特征值为 2，2，3，则 |B| = （　　）。

A．6

B．8

C．9

D．12

6．行列式

D = | 2 1 3 |

的值为 ______。

7．已知 3 阶行列式 D 的第 2 行元素依次为 1，2，3，其对应的代数余子式为 A₂₁，A₂₂，A₂₃；D 的第 1 行元素依次为 4，5，6。则 4×A₂₁ ＋ 5×A₂₂ ＋ 6×A₂₃ = ______。

8．设 A 为 3 阶矩阵，且 |A| = 2，A* 为 A 的伴随矩阵，则 |A*| = ______。

9．设 A = [ 1 2 ]

[ 3 4 ]，则 A 的逆矩阵 A⁻¹ = ______。

10．设矩阵 A = [ 1 2 3 ]

[ 2 4 6 ]

[ 1 1 1 ]，则矩阵 A 的秩 r(A) = ______。

11．设向量组 α₁ = (1, 2, 3)，α₂ = (2, 4, 6)，α₃ = (1, 0, 1)，则该向量组的秩为 ______。

12．设向量组 α₁，α₂，α₃ 线性无关，则向量组 α₁＋α₂，α₂＋α₃，α₃ 的秩为 ______。

13．设 A 为 3×4 矩阵，且齐次线性方程组 Ax = 0 的系数矩阵的秩 r(A) = 2，则其基础解系中含 ______ 个向量。

14．设 3 阶矩阵 A 的特征值为 －1，2，5，则 |A| = ______。

15．二次型 f(x₁, x₂) = x₁² ＋ 4x₁x₂ ＋ 3x₂² 的矩阵 A = ______。

16．

计算 4 阶行列式

D = | 1 1 1 1 |

的值。

17．

设 A = [ 1 2 ]

[ 2 3 ]，B = [ 3 4 ]

[ 5 6 ]。求矩阵 A 的逆矩阵 A⁻¹，并解矩阵方程 AX = B。

18．

求矩阵

A = [ 1 2 1 3 ]

[ 2 5 3 7 ]

[ 3 7 4 10 ]

[ 1 1 2 2 ]

的秩，并写出它的等价标准形。

19．

用克拉默法则解线性方程组

2x₁ ＋ x₂ － x₃ = 3

x₁ － x₂ ＋ 2x₃ = 0

3x₁ ＋ 2x₂ ＋ x₃ = 5

并写出系数行列式 D 的值。

20．

求齐次线性方程组

x₁ ＋ x₂ ＋ x₃ ＋ x₄ = 0

x₁ ＋ 2x₂ ＋ 3x₃ ＋ 4x₄ = 0

x₁ ＋ 3x₂ ＋ 5x₃ ＋ 7x₄ = 0

的一个基础解系，并写出它的通解。

21．

求矩阵

A = [ 1 2 2 ]

[ 2 1 2 ]

[ 2 2 1 ]

的全部特征值与特征向量。

22．

用正交变换将二次型

f(x₁, x₂, x₃) = 2x₁² ＋ 2x₂² ＋ 2x₃² ＋ 2x₁x₂ ＋ 2x₁x₃ ＋ 2x₂x₃

化为标准形，并写出所用的正交变换。

23．

（7分）设向量组 α₁，α₂，α₃ 线性无关，证明：向量组

β₁ = α₁ ＋ α₂，β₂ = α₂ ＋ α₃，β₃ = α₃ ＋ α₁

也线性无关。