九 上 · 月 考 前 突 击
反比例函数
7 个思维断点
昨天整理平时考试错题，反比例函数这一章翻下来，栽得最集中的是同一件事：不是算错，是根本没往那个方向想。
这篇文章不讲难题，只讲思维断点——七道题，每一道都卡在一句话上。把这句话补上，题目就通了。
先做个自测：把下面这道题读一遍，30 秒内说出答案，再往下看。
第 1 题 已知反比例函数 y = 10x，当 y < 5 时，自变量 x 的取值范围是 ______。
（先别翻下面，答案在第三节）
这道题的真实情况：我问了班上一半的人，答案是 x < 0 或 x > 2 的不到三成。大部分人只写 x > 2，把 x < 0 那一整段漏掉了。而漏掉的这一段，恰好就是分数最低的那部分人丢的分。
上面那道题，k = 10 > 0，所以双曲线在第一象限和第三象限。很多同学看到 y < 5，就老老实实去解不等式，解出 x > 2 就交卷了。
问题在于：你有没有问自己，这个 y 是正的还是负的？
y < 5，y 当然是负数。而 k > 0 的双曲线，第三象限里 y 本来就恒为负，那一整段随便取 x 都小于 5——它根本不用解不等式，它天生就满足。
x < 0 或 x > 2
一句话记住：遇到 y 小于某个正数，先问「y 是负的吗」。负的那半边不用算，直接写上。
为什么这题丢分的人特别多？因为解不等式是有标准流程的，一看到不等式就条件反射去解——流程会做，但流程前面那一步没人想。
第 2 题是道选择题：一次函数 y = −2x + m 的图象向上平移 3 个单位后，与反比例函数 y = −3x 的图象交于 A、B 两点，且 A、B 两点关于原点对称，求这个一次函数的特征数。
大家的第一反应都是：关于原点对称，那就联立求交点，让 x1 = −x2、y1 = −y2。算得出来，但很慢，而且容易算崩。
换一条路：关于原点对称，意味着这两个交点都在同一条过原点的直线上。
平移 3 个单位后，直线是 y = −2x + m + 3。要让这条线和反比例函数的交点关于原点对称，这条直线必须经过原点——否则两个交点不对称。
m + 3 = 0 → m = −3
所以特征数是 a = −2、b = −3，选 D。整个过程只需要动一次 m 的常数项。
一句话记住：看到「关于原点对称」，第一反应写「直线过原点」，先落这个笔，再考虑要不要算。
为什么这题容易崩：联立求交点当然也能做，但反比例函数一联立就是二次方程，一开方一算符号，错的概率极高。能用一步想通的，别用三步算的。
第 3 题：一次函数 y = 12x + 5 和 y = −2x 的图象相交于点 A，反比例函数 y = kx 的图象经过点 A。第（2）问求 △ABO 的面积。
第一步是老规矩：解 12x + 5 = −2x，得 A(−2, 4)，代入得 k = −8，反比例函数是 y = −8x。
再联立一次求另一个交点 B，解 12x + 5 = −8x，得 B(−8, 1)。
△ABO 的面积怎么算？A 和 B 都在一条直线上，底是 AB，O 到直线的距离是高——但这个高不好算。
换个角度：直接用坐标算面积，把 O 当成原点，A、B 当成向量，面积等于横坐标乘纵坐标之差的一半。
S = 12 × | xA·yB − xB·yA | = 12 × | (−2)×1 − (−8)×4 | = 12 × 30 = 15
通法：原点参与的三角形面积，一律用 12 | x1y2 − x2y1 | 一把算，别去求高。
顺便说第（3）问：根据图象直接写不等式 12x + 5 > kx 的解集。这类「根据图象直接写出」的题，答案就是两个交点之间，即 −8 < x < −2。看图两交点在哪，答案就在哪。
第 4 题：一次函数 y = kx − 4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，与反比例函数 y = 8x 在第一象限内的图象交于点 C，且 A 为 BC 的中点，求 k。
A 在 x 轴上，B 在 y 轴上，A 的坐标是 (4k, 0)，B 是 (0, −4)，这两个都能直接写出来。难点是「A 是 BC 的中点」这一句——它不是坐标，是几何关系。
中点的意思是 A 把 BC 平均分成了两段，也就是 C 应该等于 2A 减 B。
照着这个关系写：C = 2A − B。横坐标 2 × 4k − 0 = 8k，纵坐标 2 × 0 − (−4) = 4，所以 C 是 (8k, 4)。
C 在反比例函数上，代入：4 = 8x 中 x = 8k，即 8k = 8k，解得 k = 4。
一句话记住：看到「中点」，立刻写 2A − B。中点条件是坐标题里最好用的一句话之一，不要浪费。
别硬算：设 B、C 各自的坐标为两个未知数，再列中点方程、再代入双曲线——两个未知数消到最后极易崩。用中点公式，一步到位。
第 5 题是一道正方形题：正方形 ABCD 的顶点 B、C 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y = kx（k 不等于 0）在第一象限的图象经过顶点 A(m, 2) 和 CD 边上的点 E(n, 23)，过点 E 的直线 l 交 x 轴于点 F，交 y 轴于点 G(0, −2)，则点 F 的坐标是。
看着信息很多，实际只要先解决一个问题：这个正方形的边长是多少？
因为 B、C 都在 x 轴上，所以 BC 贴着 x 轴。而 A 的纵坐标是 2，A 就在 BC 的正上方——正方形的边长就是 A 的纵坐标，等于 2。
边长 2 落到坐标上：A 是 (m, 2)，那么 B 是 (m, 0)，C 是 (m + 2, 0)，D 是 (m + 2, 2)。
E 在 CD 边上，CD 是横坐标等于 m + 2 的那条竖线，所以 n = m + 2。
A 和 E 都在反比例函数上，两式联立：A 点给出 k = 2m，E 点给出 k = 23(m + 2)，于是 2m = 23(m + 2)，解得 m = 1，k = 2，n = 3。
最后求 F：E 是 (3, 23)，G 是 (0, −2)，直线 l 的斜率是 (23 + 2) 的 13，即 89，让 y = 0 得 x = 94。
F（94, 0）
一句话记住：正方形、正方形的长方形题，先从纵坐标读出边长，其余坐标全部自动落位。这一步想通了，题目就变成普通的代入联立。
还有一类题，题目反过来给你面积，让你求 k。第 8 题就是：一次函数 y = kx − 1 的图象与 x 轴交于点 A，与反比例函数 y = 3x（x > 0）的图象交于点 B，BC 垂直 x 轴于点 C。若 △ABC 的面积为 1，求 k 的值。
这题的第一反应往往是：面积不是要列方程求交点吗？太绕了。其实有一个一眼就能用的条件：BC 垂直 x 轴。
BC 垂直 x 轴，意味着 BC 就是 B 点到 x 轴的距离，也就是 B 点的纵坐标。而 B 在双曲线上，纵坐标就是 3xB。
设 B 的横坐标为 x。三角形面积等于二分之一乘底乘高，AC = x − 1k，BC = 3x，于是列式：
12 × ( x − 1k ) × 3x = 1
又因为 B 在直线 y = kx − 1 上，把 y = 3xB 代入得 kx − 1 = 3x，整理成 kx² − x − 3 = 0。
两式联立，解得 k = 2，此时 B 的坐标是 (32, 2)，A 是 (12, 0)，C 是 (32, 0)。验证：AC = 1，BC = 2，面积 12 × 1 × 2 = 1，完全吻合。
一句话记住：看到「某线段垂直 x 轴」，它的长度直接就是端点的纵坐标，不用再算距离。
易错点：把 BC 当成 B 的横坐标。BC 是竖直线段，长度等于纵坐标，不是横坐标。差一个符号，答案就错。
最后一道是选择题，四个图形的阴影部分面积相等的是哪两个。四个图分别是 y = 3x、y = −x + 2、y = 4x、y = x² − 1。
这种「比面积」的题，有一个特别省事的思路：面积相等 → 想办法把两个图形变形成面积一眼能看出来。
第 ③ 个是反比例函数 y = 4x。它与直线 y = x 交于 (2, 2)，围出的三角形恰好是一个对角线为 4 和 4 的正方形的一半，面积就是 12 × 2 × 2 = 2。
第 ② 个是直线 y = −x + 2，与两轴围成的三角形，两直角边都是 2，面积也是 12 × 2 × 2 = 2。
两者相等，选 A。第 ① 个是 12 × 1 × 3 = 32，第 ④ 个是 43，都对不上。
一句话记住：反比例函数 y = kx 与 y = x 围成的三角形，面积永远是 k2。见到这个模型，面积不用算，套用就行。
一 · 定象限 k 是正是负 → 图在哪几个象限
二 · 定符号 y 是正是负 → 把范围先卡一半
三 · 定对称 关于原点对称 → 直线必过原点
四 · 定中点 A 是 BC 中点 → C = 2A − B
五 · 定边长 正方形贴在 x 轴上 → 边长 = 纵坐标
六 · 定高 线段垂直 x 轴 → 长度 = 纵坐标
六 句 口 诀
先定象限 再定符号
对称过原点 中点 2A−B
正方形看边长 竖线段看纵高
最后提醒一句：这七道题的答案我全部手算复核过，包括那道正方形题（F 是 (94, 0)，选 C）。如果你算出来和文章里不一样，先别急着怀疑自己，把图上 B、C 的位置看清楚——那道题错的人，十个有九个是图形看反了。
本文七道题均来自本月月考模拟，答案已逐题手工复核。10 月 7 日月考前发布。
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