【亢龙有悔，盈而有余】
势不可使尽，
福不可享尽，
便宜不可占尽，
聪明不可用尽，
题目不可做尽，
题目如果做尽，
缘分势必早尽！
（随便做个几题得了，道道题都做，你们的娃是神仙吗？）
专题训练五 梯形的存在性问题
解梯形的存在性问题一般分三个步骤:
第一步分类，第二步画图，第三步计算.
一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形.过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点.
灵活运用相似比列方程，可以使得解题简便.
专题训练五 梯形的存在性问题
针对训练
1．如图，四边形 ABCD 是直角梯形，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 cm，BC＝28 cm。点 P 从点 A 出发，沿 AD 以 1 cm/s 的速度向点 D 运动；点 Q 从点 C 同时出发，沿 CB 以 3 cm/s 的速度向点 B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动。从运动开始，经过多少时间，四边形 PQCD 成为平行四边形？成为等腰梯形？
2．如图，已知 A、B 是双曲线 y＝2/x 上的两个点，A、B 的横坐标分别为 2 和－1，BC⊥x 轴，垂足为 C。在双曲线上是否存在点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形是梯形？如果存在，求点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由。
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5。点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A 匀速运动；同时点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 匀速运动。当点 P 到达点 A 时停止运动，点 Q 也随之停止。伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，DE 交 BC 于点 E。设 P、Q 运动的时间是 t 秒（t＞0），在运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值；若不能，请说明理由。
4．如图，抛物线 y＝(2/3)x²－(8/3)x 与 x 轴正半轴交于点 A，矩形 OABC 的顶点 C 的坐标为（0，－2），抛物线与 BC 边右侧的一个交点为 D。在这个抛物线上是否存在点 M，使以 O、D、A、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。
5．（12 抚顺 25）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，点 D 是直线 BC 上的一个动点，连结 AD，并以AD 为边在 AD 的右侧作等边三角形 ADE。
（1）如图 1，当点 E 恰好在线段 BC 上时，请判断线段 DE 和 BE 的数量关系，并结合图 1 证明你的结论；
（2）当点 E 不在线段 BC 上时，连结 BE，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图 2 给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；
（3）若 AC＝3，点 D 在直线 BC 上移动的过程中，是否存在以 A、C、D、E 为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段 CD 的长度；如果不存在，请说明理由。
6．（14 上海24）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线 y＝(2/3)x²＋bx＋c 与 x 轴交于点 A（－1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C（0，－2）。
（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；
（2）点 E 为该抛物线的对称轴与 x 轴的交点，点 F 在对称轴上，四边形 ACEF 为梯形，求点 F 的坐标；
（3）点 D 为该抛物线的顶点，设点 P（t，0），且 t＞3，如果△BDP 和△CDP 的面积相等，求 t 的值。
7．（13 广州 24）已知 AB 是⊙O 的直径，AB＝4，点 C 在线段 AB 的延长线上运动，点 D 在⊙O 上运动（不与点 B 重合），连结 CD，且 CD＝OA。
（1）当 OC＝2√2 时（如图），求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）当 OC＞2√2 时，CD 所在直线与⊙O 相交，设另一交点为 E，连结 AE。
① 当 D 为 CE 中点时，求△ACE 的周长；
② 连结 OD，是否存在四边形 AODE 为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时 AE·ED 的值；若不存在，请说明理由。
备用图：
8．（14 梅州 23）如图，已知抛物线 y＝(3/8)x²－(3/4)x－3 与 x 轴的交点为 A、D（A 在 D 的右侧），与 y 轴的交点为 C。
（1）直接写出 A、D、C 三点的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使得 MD＋MC 的值最小，并求出点 M 的坐标；
（3）设点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 B，在抛物线上是否存在点 P，使得以 A、B、C、P 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。
9．（2015 年上海市虹口区中考模拟第 24 题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax²＋bx＋c 过 A（－1，0）、B（3，0）、C（2，3）三点，与 y 轴交于点 D。
（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；
（2）分别连结 AD、DC、CB，直线 y＝4x＋m 与线段 DC 交于点 E，当此直线将四边形 ABCD 的面积平分时，求 m 的值；
（3）设点 F 为该抛物线对称轴上一点，当以 A、B、C、F 为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点 F 的坐标。
10．（2014 年上海市闵行区中考模拟第 24 题）如图，把两个全等的 Rt△AOB 和 Rt△COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD 在 x 轴上。已知点 A（1，2），过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点 E、F。抛物线 y＝ax²＋bx＋c 经过 O、A、C 三点。
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点 P 为线段 OC 上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M，交 x 轴于点 N，问是否存在这样的点 P，使得四边形 ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。
11．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，动点 P 从点 D 出发沿 DA 向终点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发沿对角线 AC 向终点 C 运动。过点 P 作 PE∥DC，交 AC 于点 E，动点 P、Q 的运动速度是每秒 1 个单位长度，运动时间为 x 秒，当点 P 运动到点 A 时，P、Q 两点同时停止运动。设 PE＝y。
（1）求 y 关于 x 的函数关系式；
（2）探究：当 x 为何值时，四边形 PQBE 为梯形？
（3）是否存在这样的点 P 和点 Q，使 P、Q、E 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由。
备用图：
