考试越来越灵活是趋势，而“灵活”如果有具体的体现，那新定义类型题必不缺席，新定义题会给熟悉的数学对象起一个陌生的名字。比如“伴随点”，先不用猜它有什么性质，把定义中的动作做出来，往往就有切入点。
这道题的动作是绕一个动点旋转90°。旋转中心在移动，得到的点却始终落在一条直线上。找到这条直线后，题目里关于圆的问题才会变得清楚。
一、原题：读懂“伴随点”
题源：2025年南外九上数学第一次月考第27题（压轴大题），解析过程及配图皆由本号原创编辑重制，如需转载请申请白名单。
题目简述：
在平面直角坐标系中，点 ，且 ，点 。将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，称点 为点 关于点 的“伴随点”。
（1）已知 。当 的坐标分别为 、 时，写出对应伴随点的坐标；再探究伴随点 的运动轨迹所对应的函数表达式，并说明理由。
（2）以 为圆心、1为半径作圆，写出圆上点 关于点 的伴随点个数，以及 对应的取值范围。
◆ 定义里的三个信息
旋转中心是B，方向是顺时针，角度是90°。 旋转以后保持不变的是 与 的长度。不要把旋转中心看成原点，也不要让点A原来的坐标直接交换位置。
图1 A(0,5)、B(2,0)：绕B顺时针旋转90°
图中 位于原点右侧。从B看A，需要向左走2个单位，再向上走5个单位。顺时针旋转90°以后，“向左”转成“向上”，“向上”转成“向右”。于是从B出发，需要向右走5个单位，再向上走2个单位。
这里的水平坐标要加上旋转中心的水平坐标2。旋转中心没有待在原点，不能少算这一段。
二、解答：轨迹直线怎样出现？
◆ 第（1）问｜B移到左侧，也用同一个动作
当 时，从B到A是“向右1、向上5”。旋转后，从B到伴随点就成了“向右5、向下1”。
图2 B(−1,0)时，伴随点A₁位于(4,−1)
两幅图的形状不同，使用的规则却相同。B在左侧时，伴随点的纵坐标变成负数，不需要另记一种旋转公式。
◆ 从两个例子，走到任意位置
保持 不动，让 在x轴上移动。用带正负号的水平变化和竖直变化描述从B到A的移动：
顺时针旋转90°把“向右”转成“向下”，把“向上”转成“向右”。因此，一组带符号的变化 会变成 。代入上面的变化，得到从B到伴随点的变化 。
再加回B的位置，伴随点的坐标为
所以 ，。消去同一个 ，便得到
图3 动图试点：m＝5时，伴随点沿直线运动；动画仅显示有限范围，动态坐标为近似显示。
还应检查，这是一条完整的直线，还是其中一段？题目没有限制 的取值。直线上任取一点 ，取 ，就有 ，能按定义得到这个点。因此轨迹是整条直线，不是线段或射线。 也可以在原点，此时伴随点为 。
◆ 第（2）问｜先分清哪一个点在动
第（2）问不再固定 。对每一个确定的 ，仍然让B在x轴上移动。同样的推理给出
现在“圆上有几个伴随点”，就是问：直线 与给定圆有几个交点？
这一步把新定义问题转回了熟悉的几何问题。每个交点 都对应唯一的 ，所以交点的个数就是伴随点的个数，不会重复计数。
图4 局部放大：平行移动的轨迹直线与给定圆
改变m，直线的方向不变，只是平行移动。它可能不碰到圆，也可能与圆相切，还可能穿过圆。
◆ 方法一｜用45°直角三角形求距离
设圆心C到轨迹直线的距离为 。圆的半径为1，只要比较d与1，就能判断交点个数。
过 作竖直线 ，与 相交于S。代入 ，得到
从C向轨迹直线作垂线，垂足为H。直线的横坐标、纵坐标变化量相等，所以它与水平线、竖直线都成45°角。当 时，三角形CHS是等腰直角三角形：CS为斜边，CH为一条直角边。
图5 相切位置示意；用45°直角三角形计算垂距
若 ，直线恰好经过圆心，，距离为0。虽然三角形退化了，上面的距离表达式仍然成立。
◆ 按距离分类，别漏掉相切边界
圆外的直线没有交点，相切时只有一个交点，穿过圆时有两个交点。因此：
将距离表达式代入，得到下面的完整分类。各行均遵守原题条件 。
0个伴随点：
1个伴随点：
2个伴随点：
图6 圆心到直线的距离，决定交点个数
例如 时，直线通过圆心，得到两个伴随点；而 、 时，圆心到直线的距离都是 ，大于半径，均没有伴随点。用这些具体位置回看分类，可以检查边界有没有写反。
◆ 方法二｜进阶校核：把交点写成方程
前面的几何解法已经完成原题。学过一元二次方程根的判别式后，还可以换一个角度核对答案。
伴随点 在圆上，意味着它到 的距离等于1。由勾股定理，水平距离的平方与竖直距离的平方相加，得到
展开并整理：
这是关于n的一元二次方程。它的根的判别式为
当 时有两个不同实数根，对应两个交点；当 时有一个重根，对应相切处的一个交点；当 时没有实数根，对应没有交点。
判别式与零的关系，恰好给出前面相同的三个m取值范围。几何中的“穿过、相切、相离”，在方程里分别对应“两个不同实根、一个重根、没有实根”。
三、从新定义题走向初高贯通
这道题的推进不是先背一个关于“伴随点”的结论。我们先按定义完成具体旋转，再用同一个规则处理任意位置，消去描述动点的变量，得到轨迹。
有了轨迹，圆上伴随点的个数就成了直线与圆的交点个数。进一步用方程联立，又能把交点个数转成实数根的个数。
高中解析几何会继续沿着这条路线研究曲线之间的关系；这里已经可以用初中的旋转、一次函数、勾股定理与一元二次方程搭起连接。
如果还想继续探索，可以把圆心换成 、半径换成 。轨迹直线仍然是 。仿照上面的竖直辅助线，试着求圆心到直线的距离，并判断：哪两个m值会对应相切？
这个就交给有学有余力兴趣探索的同学了，期待你的新答案！
真题研讨 初高贯通 | 四段距离，怎样找到最小值？从初一绝对值走向特长生考试
