1.已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BC=CF+CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出BC，CD，CF三条线段之间的数量关系．
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．
①请直接写出BC，CD，CF三条线段之间的数量关系；
若正方形ADEF的边长为
，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长．
2.如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别为BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA，CD的延长线分别交于点M，N，则∠BME=∠CNE．
（1）如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别为BC，AD的中点，连接EF，与CD，AB分别交于点M，N，判断OM，ON之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）如图3，在△ABC中，
，点D在AC边上，且AB=CD．E，F分别为BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，连接DG，若∠EFC=60°，判断△ADG的形状，并证明你的结论．
3.已知，在正方形ABCD中，△BEF是以BF为斜边的等腰直角三角形，取DF的中点G，连接EG，CG．
（1）如图1，若△BEF的斜边BF在BC上，猜想EG，CG之间的数量关系和位置关系，并证明．
（2）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转45°，如图2所示，则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转任意角度，如图3所示，则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
4.在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PE，PC．如图1，当点E在BC边上时，易证：
（不必证明）．
（1）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC，PE有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
（2）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC，PE又有怎样的数量关系？请写出你的猜想（不必证明）．
5.如图1，点E为正方形ABCD边 CB延长线上一点，在△BEF中，∠BEF=90°， EF=BE，连接DF．取DF的中点G，连接CG，EG，易证CG=EG且CG⊥EG．
（1）如图2，将△BEF绕点B顺时针旋转，使BE落在AB边上，此时点F恰好落在BD上，其他条件不变，则线段CG，EG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
（2）如图3，将△BEF绕点B逆时针旋转90°，其他条件不变．若AB=3，BE=1，请直接写出CG的长．
图2
图3
6.已知△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作菱形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在BC边上时，求证：①BD=CF；②
．
（2）如图2，当点D在BC的延长线上时，其他条件不变，结论
是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AC，CD，CF之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当点D在CB的延长线上时，其他条件不变，探究AC，CD，CF之间的数量关系．
7.如图1，C是线段BG上一点，分别以BC，CG为边，向外作正方形BCDA和正方形CGEF，使点D落在线段CF上，M是AE的中点，连接DM，FM．
（1）求证：DM=FM，DM⊥FM．
（2）如图2,将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°,其他条件不变，探究线段DM，FM之间的关系,并加以证明．
（3）如图3,将正方形CGEF绕点C旋转任意角度,其他条件不变，探究线段DM，FM之间的关系，并加以证明．
8.（1）如图1，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，AB⊥AC，BD⊥DE，点D在AB边上．取CE的中点F，
连接AF，DF，猜想AF，DF之间的数量关系和位置关系，并加以证明．
（2）将△BDE旋转至如图2所示的位置，使点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上，其他条件不变，
判断（1）中AF，DF之间的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明．
