硕士研究生入学考试 数学分析（回忆版，附参考答案）

重要说明：官方从未公开发布原版试卷，此为考生回忆整理版本；参考答案为数学爱好者推导，非官方标答。整套共7大题。

题1（14分）求极限

解答黎曼和：

题2（16分）微分中值证明

设在二阶可导，，且。求证：，使得。

证明设满足，则。在处泰勒展开：

代入：

代入：

若，则，于是； 若，则，于是。 故。

题3（16分）积分证明

设在连续，。证明：至少存在两个不同点，使得。

证明令，则。分部积分：

得到。 令，则。罗尔定理：。 于是。两次罗尔定理：；，。证毕。

题4（16分）函数项级数

讨论级数在上的一致收敛性。

解答记。 求导：，临界点。

级数收敛。 由魏尔斯特拉斯M判别法，级数在上一致收敛。

题5（16分）偏微分方程变量替换

设二阶连续可微，令，变换方程：

解答

代入原方程：

题6（16分）平面曲线积分

：上半椭圆，从到。

解答

补直线段，构成逆时针闭合曲线。格林公式：

上：，积分。

题7（16分）曲面积分

：锥面，取上侧。

解答补，取下侧。为闭合曲面外侧。高斯公式：

柱坐标：

取下侧：

2013卷特点小结

1. 题1余弦函数黎曼和；题2最小值条件泰勒展开证明二阶导数下界；
2. 题3十三次幂积分条件证明两个零点；
3. 题4求上确界，M判别法判定上一致收敛；
4. 题5二阶偏微分方程变量替换；题6格林公式计算上半椭圆第二类曲线积分；题7锥面补圆盘高斯公式。

利用重积分计算物体质心坐标与利用物体质心坐标计算重积分

设物体的密度函数即在点处单位面积的质量为。

• (1)利用重积分计算质心坐标，质心坐标计算公式：

• (2)利用质心坐标计算重积分（公式为上面公式变形），如果能知道物体的质心坐标及物体总质量，即可以计算如下积分

1.利用重积分计算物体质心坐标

2.利用物体质心坐标计算重积分