复习不是做过很多题，而是一道题吃透一片，尽可能地发挥出一道题的效力，一题多解的价值也就在这里。同一道题，用不同方法解，就是在不同的知识路径上各走一遍。路径交汇处便是融会贯通之处。
第一题：复习 、、累乘、归纳、裂项
题目：【2022 年新高考Ⅰ卷第 17 题】
记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列。
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）证明：。
知识点
等差数列定义 → 与 关系 → 递推作差 → 累乘法 → 构造常数列 → 归纳猜想 → 裂项相消 → 不等式证明。八块主干知识，一题全覆盖。
（Ⅰ）四种解法
【解法一】递推作差 + 累乘（通法，考场首选）
由条件 ，即
时写出 ，两式相减：
累乘（相邻约分）：
检验 ： 成立，故 。
【解法二】先求 再求 （换主元）
将 代入 整理可得：
累乘得 （首项 检验成立），再由 （），并验 。
解法一累乘的是 的比，解法二累乘的是 的比。当递推式以 与 混合出现时，消 和消 都可以，考场自选。
【解法三】归纳猜想（探索路径，检验思维严谨性）
由 ；。猜想 。 验证（注意：得出规律一定要验证它满足递推！）：
故通项成立。
这个解法在探索并验证。大题实在没思路时算前三项猜结构往往就是突破口。
【解法四】构造常数列（高阶技巧，分式递推利器）
由 且 ，代入得：
两边同除以 ：
构造出常数列：，故 ，再求 即可。
这个解法直接构造出倒数关系，比累乘更高级，是处理分式递推的利器。
（Ⅱ）两种证法
【证法一】裂项相消，恒等变形
【证法二】数学归纳法
： 成立。
设 时成立，即 。则当 时：
递推成立。
第二题：复习待定系数、不动点、迭代、累加、放缩、归纳
题目：【2014 年新课标全国Ⅱ卷（理）第 17 题】
已知 ，。 （Ⅰ）证明 是等比数列，并求 的通项公式；
（Ⅱ）证明：。
知识点
待定系数法 → 不动点思想 → 迭代展开 → 累加法 → 等比数列求和 → 等比放缩 → 归纳法加强命题。
（Ⅰ）四种解法
【解法一】待定系数法（常规法）
设 ，展开比较得 。故 为首项 、公比 的等比数列：
【解法二】迭代展开
反复代入递推式：
括号内是等比数列求和：，故
上述式一般展开 2 项即可得到规律。也可以如下更清晰：再（第一行除外）逐下每个乘以 3，再累加。
【解法三】除幂累加（构造常数列差）
递推式两边同除以 ，令 ：
故 。
解法一是先定结构再定系数；解法二最适合忘记技巧时保命；解法三是处理 型递推的通用套路。除以 总能把线性递推变成累加。
【解法四】不动点法（核武器，一阶线性递推秒解）
对于递推式 ，令 ，解得不动点。 在递推式两边同时减去不动点：
从而直接得出 是等比数列，后续同解法一。
不动点法是处理一阶线性递推 的利器，记住它，这类题可以快速解答。
（Ⅱ）两种证法
【证法一】等比放缩（标准动作）
（放缩依据：。）
【证法二】归纳法 + 加强命题（思想含金量最高）
直接归纳 递推步走不通（越加越大）。加强命题：证明
奠基：： 成立。递推：设 对 成立，则
即 成立。此步放缩是递推成立的充要条件，故加强命题可传。 由 立得 。
证法二的加强命题取等恰在 ，说明这个加强是刚好能传下去的紧界。归纳法失败时，不是归纳法不行，而是命题太弱。
第三题：复习基本量、中项性质、下标和、二次函数、不等式、舍根
题目：【2021 年新高考Ⅱ卷第 17 题】
记 是公差不为 0 的等差数列 的前 项和，若 ，。
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求使 成立的 的最小值。
知识点
等差基本量方程 → 中项性质（）→ 下标和性质 → 二次函数 → 一元二次不等式 → 多解取舍。
（Ⅰ）二种解法
【解法一】基本量法（常规方法）
设首项 ，公差 。由 ：
代入 ：
因 ，得 ，，故 。
【解法二】性质法（少设未知数，提速利器）
关键一步：（奇数项和 = 项数 × 中项），故 。 于是 （同上），且利用下标和：
同得 。整个过程中未知数始终只有 一个。
基本量法把一切化为 的方程，它永远可行，是通性通法；性质法（中项、下标和）减少未知数、降低次数，是提速手段。考场上就是通法保底、性质提速。
（Ⅱ）三种解法
【解法一】二次不等式（通法）
。由 ：
故 的最小值为 。
【解法二】枚举观察（小题思维的迁移）
逐项列出：；
观察 在 后稳定递增，且 不满足严格大于，故最小 。
这个解法只适用于 较小且单调递增明显的情况，在数列与函数综合的选择填空中尤为高效。
【解法三】二次函数零点法（几何直观）
令 。这是一个开口向上的二次函数，零点为 和 。 画出抛物线草图，立即可得：当 或 时，。 故 的最小值为 。
将数列不等式转化为函数零点问题，数形结合，直观且不易错。
第四题：复习分段数列、奇偶讨论、求和双公式、差式化归、二次函数正负
题目：【2023 年新课标全国Ⅱ卷第 18 题】
已知 为等差数列，，记 分别为 的前 项和，，。
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）证明：当 时，。
知识点
等差求和两公式 → 分段递推 → 奇偶分类讨论 → 下标代换（）→ 差数列化归 → 二次函数/因式分解判号 → 分类整合。
（Ⅰ）求解
联立解得 ，故 。
（Ⅱ）三种证法
【证法一】差式化归（化归为研究 ）
设 ，则 ，于是
当 （，即 ）：偶数项和 ，奇数项有 个，故
当 （，即 ）：
综和上述， 时 。
（即 ）时 ，恰好 ——这正是题设【 】的由来。命题人把临界值藏在了因式分解的根里，验算时算到 会心里踏实得一批。
【证法二】先求 统一公式（完整流程）
分奇偶求出 的表达式再与 作差。
当 时，奇数项 共 项，首项 ，末项 ；偶数项 共 项，首项 ，末项 。求和得 。 当 时，再加一项奇数项 ，得 。
分别减去 和 ，化简后结果同证法一。
这个解法计算量大，但练习价值在于熟悉【分段求和→合并化简】的完整流程，适合不擅长构造差数列的学生。
【证法三】奇偶项分别求通项（直接视角）
由 ，直接写出 的奇偶项通项：
当 （奇数）时，。 当 （偶数）时，。
然后分别用等差数列求和公式计算前 个奇数项和前 个偶数项的和，最后合并与 作差。逻辑直接，计算清晰。
复盘
四道题织成的知识网
四题合观：求通项（题 1、2）、求和（题 1、4）、性质运算（题 3）、不等式证明（题 2、4）。数列大题的四大题型全部覆盖，而解题工具翻来覆去始终围绕着的就那几样：作差、累乘、累加、待定系数、放缩、归纳、分类。
考场提醒
【先通法后巧法】 递推作差、基本量、二次函数是保底的通法；性质法、差式化归、不动点法是熟手提速的巧法。平时练巧法，考场信通法。 【一题多解练在平时，一解多题用在考场】 平时用多解法吃透知识网络；考场上则是这道题像哪道做过的题。这就是我在一直强调的同构思维。 【多解之后必有比较】 每用两种方法解完同一题，花一分钟想一项或者写下【此法何时最优】，这一分钟比再刷一道题更值。 【验算临界值】 像第四题 的由来，一定要算一下 的临界情况。命题人往往把坑设在边界，验算一次，心里踏实，也防止分类讨论漏项。
小结
四道真题串起的远不止数列一章。作差与累乘是递推思想的肌肉，分类与化归是数学思维的骨骼，而加强命题、不动点这样的巧思则是压轴题区分度的天花板。愿同学们在考场上既能像解法一那样稳稳拿到每一分，也能在卡壳时想起还有解法二、解法三。毕竟对于应试来说，永远正确的是手中方法多一种、心里慌张少一分。
