三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

20.(本小题满分12分)在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南θ[θ=arccos(2^0.5/10)]方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45º方向移动。台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

解: 台风从考查计时点P,沿西偏北45º方向一边行进, 风圈半径一边在扩大.设t小时后，风圈半径到达城市O点,此时，台风中心运行至Q点,城市受台风影响的条件为:移动后台风中心与城市的距离OQ≦扩大后的风圈半径R.即: OQ≦R.

建立如上图的坐标系，城市的坐标为O(0,0);

P点的坐标为(300cosθ,-300sinθ);

sinθ=[1-cos²(arccos2^0.5/10)]^0.5

=[1-(2^0.5/10)²]^0.5

=7•2^0.5/10

Q点的坐标计算:

台风中心运行距离PQ=20t,

x_Q=x_P-PQcos45º

=300 cosθ- PQcos45º

=300•(2^0.5/10)-20t·(2^0.5/2)

  =30•2^0.5-10t·2^0.5

y_Q=y_P+PQsin45º

=-300sinθ+PQsin45º

=-300•(7•2^0.5/10)+20t·(2^0.5/2)

=-210•2^0.5+10t·2^0.5

动态风圈半径R=60+10t(km)

移动中的台风中心与城市的距离OQ计算.

OQ =[( x_Q-0)²+( y_Q-0)²]^0.5

=[( x_Q)²+( y_Q)²]^0.5

=[(30•2^0.5-10t·2^0.5)²+(-210•2^0.5+10t·2^0.5)²]^0.5

≦R=60+10t

即: [(30•2^0.5-10t·2^0.5)²+(-210•2^0.5+10t·2^0.5)²]^0.5

     ≦60+10t

两边平方后整理可得: t²-36t+288≦0

(t-12)(t-24)≦0

解不等式可得: 12≦t≦24

故12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

草稿上详细推演过程.作图如下:

1.思考分析:

台风初始位置为深蓝色圆心为P的圆处.此后,圆半径逐步扩大,台风中心沿着西偏北45度行进. 分三种情况:

(1).台风半径扩大较快,台风中心Q不到S处城市就进入台风圈内;

(2).台风半径扩大当台风中心Q正好到S处,城市就进入台风圈外边缘,此后台风半径扩大影响城市;

(3).台风半径扩大较慢,当台风中心Q正好到S处,城市未进入台风圈外边缘,此后台风半径扩大影响城市;

2试算: 当台风中心移动至S处,OS⊥PS,这时,PS=240km,OS=180km,台风中心到达S点的时间为12小时,风圈半径由60km,以10kn/h的速度扩大,经12小时半径扩大120km, 风圈半径变为180km,正好风圈接触城市,使城市进入台风区域.此后,风圈半径扩大,风中心远离,如何判断城市是否在台风影响范围内?

只能用城市中心点O到移动的台风中心点Q的距离OQ与台风不断扩大的动态半径R比较来判断,若OQ≦R,则城市处于台风影响半径之内,城市受台风的影响.

3.计算化简:

[(30•2^0.5-10t·2^0.5)²+(-210•2^0.5+10t·2^0.5)²]^0.5≦60+10t

两边平方

900*2+200t²-2*30·2^0.5·10t·2^0.5+210²*2+100*2*t²

-2*210*2^0.5*10*t*2^0.5≦3600+100*t²+2*60*10*t

两边除以100,

9*2+2t²-2*3·2^0.5·1*t·2^0.5+21²*2+1*2*t²

化简得:

3t²-108t+21*21*2-18≦0

整理可得: t²-36t+288≦0

*及·均表示乘以.

评析:1.通过分析得出判断城市受台风影响的数学表达式,这一步至关重要. 实际问题,都得列出恰当的数学表达式才能求解.本题有一点类似圆与直线相交、相切、相离的判断原则。本题是判断城市所在的定点O与动态圆半径所覆盖区域的位置关系, 判别定点O是在圆内?还是在圆外?

2. 本题可归类于函数y1=动态距离(关于时间t的函数),函数y2=动态半径(关于时间t的函数),y1≦y2城市受台风的影响,求出时间的取值范围.

小广告:

本公众号往期内容: (1)2003年史上最难高考数学题中概念考点解读系列(1~19);(2)被誉为史上最难的1984年高考数学全套解析(1~22); (3)1977年河北省高考数学全解析--老学长谈高考数学题中概念考点解析系列(1~12)。喜欢以上内容的朋友们,请关注本号,欢迎转发分享!