初三数学第一次月考|一元二次方程压轴题3类必考

四季读书网 2026-09-29 22:00:17 9 0

第一次月考临近，很多家长跟我说：

"老师，基础题孩子还行，一到压轴题就空着，怎么办？"

一元二次方程这一章的压轴题，看起来很难，其实常考的就三类：
动点问题、利润最值问题、面积问题。

每一类都有固定的解题套路，孩子掌握了，至少能拿一半分。

今天我把这三类压轴题的解题思路全部拆开讲，每一类配一道典型例题，家长转给孩子，考前练一遍，月考压轴题至少多拿8分。

第一类：动点问题——用时间t表示线段

动点问题是月考压轴题最常考的一类，也是孩子最怕的一类。

其实动点问题没有那么玄乎，核心就一句话：

用时间t把所有线段都表示出来，然后找等量关系列方程。

典型例题：
如图，矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从A出发沿AB边向点B以3cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以1cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm²？

错误做法：不知道怎么下手，看着图发呆，或者乱设未知数。

正确思路：
1. 设时间为t秒
2. 用t表示各条线段：
- AP = 3t
- PB = AB - AP = 16 - 3t
- BQ = t
3. 面积公式列方程：
S△PBQ = ½ × PB × BQ = 8
½ × (16 - 3t) × t = 8
16t - 3t² = 16
3t² - 16t + 16 = 0
(3t - 4)(t - 4) = 0
t₁ = 4/3，t₂ = 4

最后别忘了检验：t必须大于0，而且点不能走出线段。
PB = 16 - 3t > 0 → t < 16/3 ≈ 5.33，两个解都满足 ✅
BQ = t ≤ 6，也都满足 ✅

口诀：动点问题不用慌，t来表示各线段，面积/勾股找关系，检验范围不能忘。

第二类：利润最值问题——总利润=单件利润×销量

利润问题是应用题里的"常客"，也是最容易丢分的一类。

孩子不是不会列方程，是搞不清楚"涨价多少，销量降多少"这个对应关系。

典型例题：
某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。要使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

错误做法：设单价为x元，然后列方程时销量和单价的关系搞反。

正确思路：
1. 设涨价x元（设涨价的金额比设单价更容易理清关系）
2. 单件利润 = 售价 - 成本 = (50 + x) - 40 = 10 + x
3. 销量 = 原销量 - 减少的销量 = 500 - 10x
4. 总利润 = 单件利润 × 销量
(10 + x)(500 - 10x) = 8000
5000 - 100x + 500x - 10x² = 8000
-10x² + 400x - 3000 = 0
x² - 40x + 300 = 0
(x - 10)(x - 30) = 0
x₁ = 10，x₂ = 30

所以单价=50+10=60元，或50+30=80元。

常见坑：
- 涨1元减10件，涨x元减10x件，别写成减x件
- 单件利润是"售价-成本"，不是售价本身
- 如果题目说"要让顾客得到实惠"或"尽量让利"，选涨价少的那个解

口诀：利润问题设涨价，单件利润乘销量，涨多少减多少，比例关系别搞反。