旋转+垂线：一个α，为什么最后会被“消掉”？
真正拉开差距的，不是计算量，而是把“图形动作”翻译成“几何结构”。
固定更新时间：每周五晚｜公众号：SeeMath 大C
【栏目定位】 每周精讲一道值得反复研究的北京中考压轴题。我们不追求“刷了多少题”，更关注三件事：这道题真正考什么、学生通常卡在哪里、怎样把一道题的方法迁移到下一道陌生题。 |
【本期建议】 这道题的价值，不在于最后的结论有多复杂，而在于它连续要求你完成三次“结构转换”： 旋转 → 等长与等腰；垂直 → 角度转化；线段和 → 构造等长辅助线。 |
01 本期题目
先独立做，再往下看。尤其是第（3）问，建议至少尝试 8 分钟。
如图，在正方形 ABCD 中，将边 CD 绕点 C 逆时针旋转 2α（45°＜α＜90°），得到线段 CE，连接 DE，过点 B 作 BF ⟂ DE，交 DE 于 F，连接 BE。 （1）依题意补全图1； （2）求 ∠FBE 的度数； （3）连接 AF，用等式表示线段 AF 与 DE 的数量关系，并证明。 |
题图（保留原题“补全图形”的设问）
✦ 先做再看 ① 第（1）问补图时，先判断 E 的位置，再画 DE、BF、BE；不要凭“看起来顺眼”去补。 ② 第（2）问如果开始大量追角，先停一下：这里真正有用的是“两个等腰三角形”。 ③ 第（3）问看到“线段数量关系”，不要只盯着 AF；先想办法把 DE 拆成你已经掌握的线段。 |
02 这道题为什么值得反复研究
它的计算量很小，但“结构转换密度”很高。
① 一次旋转，实际上送给你两组等长 旋转直接给出 CD＝CE；而正方形又给出 BC＝CD。 所以图中不是只有一个等腰三角形——如果只看到 △CDE，你就少用了一半条件。 |
② α 不是让你“算”，而是让你“消” 题目故意把角度写成 2α，并给出 45°＜α＜90°。 优秀的处理不是把所有角都算得很复杂，而是把不同位置的角都表示成“含 α 的式子”，最后通过差角让 α 消失。 |
③ 第（3）问从“角度”跃迁到“数量”，这才是区分度所在 前两问解决的是图形位置与角度；第（3）问突然要求线段关系。 这类设问常见的突破口，是把前一问得到的特殊角转化成特殊三角形，再把“线段和/差”变成一个可比较的新线段。 |
④ 这是一道很典型的“少算、多看结构”题 条件多，但真正核心只有几类：旋转保长、正方形等边垂直、等腰三角形、垂线、全等构造。 如果能用这些基础性质完成连续转换，说明你掌握的是“模型语言”，而不是某一道题的套路。 |
03 破题提示
只给思考抓手，不直接把完整证明写出来。
1 | 先找“旋转不变量” CD 绕 C 旋转到 CE 后，哪一条长度一定不变？再把它和正方形的边长关系连起来。 |
2 | 不要只盯△CDE 除了△CDE 是等腰三角形，图中还有哪一个三角形也因为“正方形边长 + 旋转保长”变成等腰？ |
3 | 把α 放到两条不同的“角度链”里 一条角度链来自△CDE；另一条来自 △BCE。BF ⟂ DE 会把其中一个角再变成余角。 |
4 | 第（2）问的目标不是“求 α” 尝试分别写出∠CBE 与 ∠CBF，再作差。观察：α 会不会自动消失？ |
5 | 第（3）问先处理 DE 得到特殊角后，△BFE 会出现非常熟悉的结构。于是 FE 与 BF 的关系是什么？DE 又能写成哪两段的和？ |
6 | “和”通常需要截长补短 如果你已经把 DE 化成 DF＋BF，可以尝试延长 DF，在延长线上“复制”一段 BF。然后找一对能用 SAS 判定全等的三角形。 |
04思路导学：真正的卡点在哪里
如果前面已经独立尝试过，再看这一部分最有效。
卡点一｜旋转之后，不是“一个等腰”，而是“两个等腰”
由旋转：CD＝CE；由正方形：BC＝CD。因此同时得到：CD＝CE，BC＝CE。
·△CDE 是等腰三角形，顶角 ∠DCE＝2α，因此底角可以直接用 α 表示。
·△BCE 也是等腰三角形，关键在于先看清 ∠BCE 与 2α、90° 之间的关系。
→ 这一眼为什么重要？ 它把“旋转条件”从一个局部动作，变成了两条可追踪的角度链。后面所有角度关系都从这里生长出来。 |
卡点二｜让α 在差角中消失
沿着两条角度链整理，可以得到：
·由△CDE：∠CDE＝90°－α，进而 ∠ADE＝α。
·由△BCE：∠BCE＝2α－90°，进而 ∠CBE＝135°－α。
·又因为 BF ⟂ DE，可得到 ∠CBF＝90°－α。
于是∠FBE 不是重新“算”出来的，而是两个含 α 的角作差：
★ 关键一步 ∠FBE＝∠CBE－∠CBF＝（135°－α）－（90°－α）。你会看到：α 在这里被完全消掉，得到一个与 α 无关的固定角。 |
卡点三｜数量关系不是“算长度”，而是“造出线段和”
第（2）问得到固定特殊角后，BF ⟂ DE 立刻让 △BFE 进入“直角 + 特殊角”的结构。先把这个结构吃透：
·△BFE是直角等腰三角形，因此 BF＝FE。
·于是 DE＝DF＋FE＝DF＋BF。
这一步把目标从“比较 AF 与整条 DE”，改写成“比较 AF 与 DF＋BF”。接下来就要把这个“和”真正画成一条线段。
◇ 建议的辅助构造 延长 DF 到点 G，使 DG＝BF。 这样，FG＝FD＋DG，恰好把“DF＋BF”做成了一条真实线段。 再比较△ABF 与 △ADG：正方形给出 AB＝AD，构造给出 BF＝DG；剩下只需处理夹角。 |
当这两个三角形全等后，新的等长与角度关系会把△AFG 推成一个特殊三角形。做到这里，AF 与 DE 的数量关系就会自然出现。
! 这里先不把第（3）问最后一行写出来 原因很简单：真正值得练的，正是“为什么想到延长 DF，并复制 BF”。 如果直接记结论，下次图形一换仍然不会；如果能主动完成这一步构造，这道题才算真正吃透。 |
05本期考点复盘
不是记答案，而是整理“以后还能用”的能力。
考点 | 在本题中怎么用 | 常见卡点 | 可迁移能力 |
旋转的性质 | 旋转前后对应线段相等；旋转角直接进入三角形顶角 | 只盯角度，不先写等长 | 看到旋转先找：等长、等角、对应点 |
正方形结构 | 四边相等、邻边垂直、对边平行 | 条件太熟反而被忽略 | 把“正方形”拆成可调用的具体性质 |
等腰三角形 | △CDE、△BCE 两次出现 | 只发现一个等腰 | 一条等长链可能同时制造多个等腰 |
角度转化 | 平行 + 垂直 + 等腰底角，把 α 转到不同位置 | 角追得太散，没有统一变量 | 用α 统一表示，再通过和差消元 |
特殊角结构 | 固定角 + 垂直 → 直角等腰 | 求出角后就停 | 角度结论往往是下一问的“桥” |
截长补短 | 把 DE＝DF＋BF 变成一条真实线段 FG | 硬算 AF、DE | 看到线段和/差，优先考虑延长与截取等长 |
全等三角形 | 辅助构造后用 SAS 建立新的等长、等角 | 只会“看起来像” | 构造的目的必须落到明确判定条件上 |
06做完这题，建议再问自己 5 个问题
能回答出来，才叫“从一道题迁移出方法”。
01 看到“旋转”，我能不能第一时间写出不变量，而不是先追角？
02 当一个参数α 在多个角里反复出现时，我是想“求 α”，还是先判断它可能会被消掉？
03 当上一问得到 45°、60°、30° 这类特殊角时，我会不会立刻检查是否出现特殊三角形？
04 当目标是证明 a＋b 与另一条线段有关时，我会不会主动想到“延长 + 截取等长”？
05 我的辅助线是“试出来的”，还是能说清楚它为了制造哪一组全等条件？
✓ 练习建议 今天：完整做一遍，允许看“破题提示”，不要看“思路导学”。 隔一天：只看题目重做第（3）问，要求自己独立想到“延长 + 截取等长”。 一周后：把原图遮住，口述这道题的结构链——旋转 → 两个等腰 → 角度消元 → 直角等腰 → 线段和 → 全等构造。 |
07一页复盘卡
如果只能从这道题带走三件事，就带走下面三件。
带走①｜看到旋转，先写“不变量”，再找“连锁等长” CD＝CE 只是第一层；再叠加正方形的 BC＝CD，才能继续得到 BC＝CE。 真正高效的读图，是把一个条件继续往外“传导”。 |
带走②｜参数角反复出现，优先考虑“消元” 本题的α 不是未知数意义上的“待求量”，而是组织角度关系的中间变量。 当两个角都能写成“常数－α”时，差角往往会出现稳定结论。 |
带走③｜要证明线段和，往往先把“和”画出来 DE＝DF＋BF 只是代数表达；延长 DF 并截取 DG＝BF，才能把它变成 FG。 辅助线不是为了“多画一条线”，而是为了制造可以判定全等的结构。 |
08完整解析领取方式
方式一｜后台回复关键词“压轴 003”
在公众号后台回复关键词“压轴 003”，即可一键领取本期完整解析。
解析包含：规范证明过程 + 关键思路拆解 + 易错点提醒 + 同类压轴题训练建议。
方式二｜下期同步公开
下周五发布下一期压轴题时，同步公开本期完整解析。想第一时间看到解析，建议关注并设置星标。
建议这样使用本文 先把题目发给孩子独立做，再回来看“破题提示”，最后对照完整解析复盘。真正的提升，往往发生在“先思考—再提示—再复盘”的过程中。 |
09 上一期完整解析
【北京中考压轴· 每周一题】
每周五晚更新｜只选真正值得反复研究的题，讲透结构，练会迁移。
觉得有用，可以转给正在准备北京中考的同学与家长。
