高考数学 · 一元函数的导数及其应用基础应用层，依据人教 A 版（2019 版）选择性必修第二册第五章 5.1–5.3
一、一句话本质
导数是函数在某一点处的瞬时变化率，几何上是曲线在该点处切线的斜率。整章的基础层只做三件事：第一，按公式与法则把导数 准确算出来；第二，用 写出切线方程；第三，用 的正负判断单调性，再由单调性找到极值与闭区间上的最值。几乎所有基础题都是"求导 → 解 → 列表看符号"这条主线的不同包装。
二、框架推衍
1. 平均变化率、瞬时变化率与导数的定义
概念从哪来？ 教材 5.1 从"高台跳水"等情境引入。函数 在区间 上的平均变化率是
（1）当 无限趋近于 0 时，如果平均变化率无限趋近于一个确定的值，这个值就叫 在 处的导数（瞬时变化率），记作 ，即
（2）把定点 换成变量 ，得到的函数 叫导函数，简称导数。求一个具体点的导数，可以先求导函数再代值，通常比直接用定义方便。
（3）物理意义：位移函数 对时间的导数 是瞬时速度，速度 对时间的导数 是瞬时加速度。
2. 基本初等函数的求导公式
公式从哪来？ 教材 5.2.1 用定义逐个算出，之后直接当工具调用，考场上不要求再用定义推导。
（1）幂函数求导"指数提前、指数减一"，如 ，，。
（2）指数与对数的导数要分清底数： 的导数仍是 ，而一般的 要乘一个 ； 的导数是 ，而 的导数要再除以 。
3. 导数的四则运算法则与简单复合函数求导
法则从哪来？ 教材 5.2.2、5.2.3，解决"两个函数加减乘除"和"函数套函数"怎么求导。
（1）四则运算法则：
常数倍可以直接提出：。
（2）复合函数求导（链式法则）：若 ，，则
本篇只要求不超过两层的复合，典型如 ，令 ，则 。每一层分别求导后相乘，最容易漏的是内层 这一乘。
4. 导数的几何意义与切线方程
意义从哪来？ 割线斜率 在 时的极限就是切线斜率，所以
（1）曲线 在点 处的切线（ 一定是切点），用点斜式写：
操作三步：求导得斜率 ；写点斜式；整理成斜截式或一般式。2026 新高考 I 卷 T4 中 ，，在 处 ，切线为 ，即 。
（2）过某点的切线与"在某点处的切线"不同：若题目说切线"过点 "而 不一定是切点，必须先设切点 ，再用三个条件联立：切点处导数等于斜率 ；切点在切线上；切点在曲线上。这种题的切线常常不止一条。
（3）公切线问题：一条直线同时与两条曲线相切时，分别在两条曲线上设切点，用"斜率相等、切点共线"列方程组。2024 新高考 I 卷 T13 就是 在 处的切线 又与 相切，由 得第二个切点横坐标 ，代回求得 。
5. 用导数判断函数的单调性
方法从哪来？ 教材 5.3.1。在函数的定义域内考察导数的符号：
（1）若在区间 上 ，则 在 上单调递增；若 ，则单调递减。
（2）解题固定四步：先写定义域；再求 并尽量因式分解；解方程 ，用根把定义域分成若干区间；列表判断每个区间上 的正负，写出单调区间。
（3）单调区间一般分开写，区间之间用逗号隔开；当 且等号只在个别孤立点成立时，函数在整个区间上仍可判为单调递增，不必把这些点从区间里挖掉。
6. 函数的极值：极大值与极小值
定义从哪来？ 教材 5.3.2。设函数在 附近有定义，若 附近所有点都满足 ，则 是极大值；都满足 ，则是极小值。
（1）判别方法（列表看符号变化）：，且在 左侧 、右侧 ，则 是极大值点；左侧负、右侧正，则是极小值点；左右同号，则不是极值点。
（2） 只是可导函数在 取极值的必要条件，不是充分条件。例如 ，，但 在 两侧都非负， 并不是极值点。所以解出驻点后必须列表看符号是否改变。
（3）2025 新高考 II 卷 T13： 是 的极值点，先用必要条件 得 ，再检验 两侧导数由负变正确为极小值点，最后 。这道题正好示范了"先必要、再验证"的完整流程。
7. 闭区间上的最大值与最小值
结论从哪来？ 教材 5.3.2。极值是"附近最大或最小"的局部概念，最值是"整个区间上最大或最小"的整体概念，两者不能混为一谈。
（1）求 在闭区间 上最值的步骤：求 ，解出 内所有驻点；计算 在这些驻点以及端点 处的函数值；比较大小，最大者为最大值，最小者为最小值。
（2）最值只能在驻点或区间端点处取得，所以端点值必须算，不能只看极值。若函数在区间上单调，最值就直接在两个端点处取得。
（3）2026 新高考 I 卷 T6：，， 时递增、 时递减，故全局最大值在 处取得；由 得 。这是"由单调增减定最值点、再由最值反求参数"的典型选填考法。
8. 含参函数基础讨论的顺序
含参问题的压轴分类归模块⑭，但选填和解答第一问里常见只含一个参数、只要求到单调区间或切线的轻量讨论，顺序固定：
（1）先写定义域，参数若出现在对数真数或分母上，定义域本身就可能随参数变化。
（2）求导后把 因式分解，找出"导数恒号"的部分（如 、平方项非负），只需讨论剩余因式的零点。
（3）解 得到的若干个零点，要先判断它们是否落在定义域内，再比较零点之间、零点与定义域端点的大小，按从小到大的顺序划区间列表。比较大小这一步漏掉，列表就会错位。2024 新高考 II 卷 T16 第（1）问是不含讨论的切线题： 时 ，，，切线为 ；其第（2）问才进入参数讨论，已超出本篇范围。
三、2024–2026 新高考考情表（导数基础选填 / 解答第一问）
考情小结：近三年导数基础层在 I、II 卷中稳定出现，切线问题（在点处、过点、公切线）几乎年年在选填中出现一题，分值 5 分；解答题第一问常以"求切线方程或单调区间"起步，是整道大题必须拿下的前 4 至 6 分。本篇梳理的公式与三步、四步流程，足以覆盖这些题位。
四、易错点
易错点 1：复合函数求导漏乘内层导数
对 这类函数，只对外层求导写成 是不完整的，必须再乘内层导数 ，正确结果是 。建议求导时在草稿上写出"外层导数 × 内层导数"的完整乘法，熟练后再心算。
易错点 2："在点 P 处"与"过点 P"的切线混为一谈
"在点 处"说明 就是切点，直接代 一条切线；"过点 "只说明切线经过 ， 可能在曲线上也可能不在，切点要另设，答案往往有多条。看到"过"字先设切点 ，用切点"一拖三"（定斜率、在切线上、在曲线上）联立。
易错点 3：把 当成极值的充分条件
只能说明 是驻点， 在 处就是反例。必须再看 左右两侧 的符号是否改变：先正后负才是极大值点，先负后正才是极小值点。题目若说" 是极值点"，可以先用 求参数，但求出后要代回验证。
易错点 4：单调区间脱离定义域、端点与并集写错
对数函数 的定义域是 ，讨论单调性必须先在定义域内划区间，不能把负数区间也写进答案。单调递增（减）区间若有两段，通常用逗号分开写，不随意用并集符号连成一个区间；端点在定义域内可以写闭，不在则写开。
易错点 5：极值与最值混淆、漏掉端点比较
极值只与附近的点比较，是局部概念，一个函数可以有多个极大值、极小值；最值是在整个给定区间上比较，是整体概念，最多各一个。闭区间求最值时，除了驻点处的函数值，两个端点的函数值必须一并计算比较，只比较各极值会漏掉真正的最值。
易错点 6：指数、对数求导公式记混
常见错误是把 的导数写成 （漏乘 ），或把 的导数写成 （漏除以 ）。记忆时抓住一对：以 为底时 ，公式最干净；底数换成一般的 ，指数导数乘 ，对数导数除 。另外 的负号也容易丢。
易错点 7：含参讨论时不顾定义域、不比较零点大小
参数出现在 、分母或根式中时，定义域可能随参数改变，第一步先写定义域并标出参数限制。 解出的根要先判断是否在定义域内，再把有效根与定义域端点按大小排序后列表；若两个零点的大小关系本身随参数变化，就要按它们相等的临界值分情况。跳过大小比较直接列表，是含参题最常见的失分方式。
五、依据来源
[1] 人民教育出版社. 人教 A 版普通高中教科书·数学 选择性必修 第二册（2019 版）第五章 一元函数的导数及其应用[M]. 北京: 人民教育出版社. https://www.pep.com.cn/xzjyc/jjsx/elective/201902/t20190225_1870498.shtml
[2] 电子课本网. 人教版高二选择性必修第二册数学（A 版）第五章 一元函数的导数及其应用 电子课本. http://www.dzkbw.com/books/rjb/shuxue/gzaxzxbx2/063.htm
[3] 人民教育出版社. 人教 A 版选择性必修第二册配套资源（5.1 导数的概念及其意义、5.3 导数在研究函数中的应用）. https://www.pep.com.cn/xw/zt/xkzt/gsazy/gsaxbx2/
[4] 高考直通车. 2026 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考 I 卷）数学试题及答案（PDF）. http://59.110.7.117/upload/file/20260608/1780886758179094231.pdf
[5] 中国教育在线. 2026 年全国新一卷数学试题 + 参考答案. http://www.eol.cn/m/gaokao/202606/t20260608_2742417.shtml
[6] 为学溪教育. 2026 年普通高等学校招生全国统一考试（V1）数学试题解析（高中解法 + 高阶解法，PDF）. https://paper-airplane.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/2026/06/12/151844b85e5dc4-6283-45d1-b6d1-e4423a897f46.pdf
[7] omaths. 2026 全国高考数学一卷第 6 题解析（PDF）. https://www.omaths.com/wp-content/uploads/2026/06/2026061011450836.pdf
[8] 学科网. 2026 年高考数学真题完全解读（全国一卷）：19 题结构（单选 8、多选 3、填空 3、解答 5）. https://m.zxxk.com/soft/58300519.html
[9] GaokaoHub 真题库. 2026 新课标 I 卷数学（新高考一卷）试卷页. https://gaokaohub.com/paper/2026-xinkebiao-i-math.html
[10] 高考直通车. 2025 年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国一卷，含答案，PDF）. https://img.gaokaozhitongche.com/resource/pdf/paper/202508/20250813042125_fwHem1.pdf
[11] 中国教育在线. 2025 年高考全国一卷数学试题答案. https://gaokao.eol.cn/shiti/sx/202506/t20250608_2673374.shtml
[12] 高考 100. 2025 新高考全国一卷数学答案解析及真题汇总. https://m.gk100.com/read_9580943.htm
[13] GaokaoHub 真题库. 2025 新课标 II 卷数学真题及答案（第 13 题极值点，答案 -4）. https://gaokaohub.com/paper/2025-xinkebiao-ii-math-29457.html
[14] 教育屋. 2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 I 卷）数学参考答案与解析（PDF，T13 答案 ln 2）. https://down.jiaoyuwu.com/m00/ea/b9/7b595a57ffa5b7a417c982f9bdff66c0.pdf
[15] 大学搜题酱. 2024 新课标 I 卷数学第 13 题（公切线）题解. https://www.daxuesoutijiang.com/questions-fd1d8f6929f33037c77b5e60dd29e98c
[16] 高考直通车. 2024 年普通高等学校招生考试新课标 II 卷数学全解析（PDF，T16 切线方程）. http://imgs.app.gaokaozhitongche.com/resource/pdf/paper/202406/20240612101409_SEKwXB.pdf
[17] 学科网. 【名师导航】2027 届高考数学一轮总复习 规范答题一 导数及其应用（收录 2024 新高考 II 卷 T16 标准答案）. https://m.zxxk.com/soft/59283371.html
