用 DeepSeek 学 2026 新高考Ⅰ卷数学第 7 题:一百零八塔配对题详解

上一篇我们看了数学第 19 题。那道题的证明很长，DeepSeek 在关键一步出了错。今天换一道选择题。我把题目发给它，请它独立解答，并给出六组具体配对。这一轮，它答对了。接下来想弄清楚的是，学生照着这份答案读，能学会多少。

这道题来自 2026 年新高考Ⅰ卷数学第 7 题。背景是宁夏青铜峡的一百零八塔。题目把十二行塔的数量记成十二个数，要求两两分组，再判断六个组的和能以哪个公差排成等差数列。教育部教育考试院在试题评析里专门提到了它，认为这道题让学生在新情境中自行探索。

如果你正在备考，可以先拿张纸做三分钟。读到答案之前，至少试着把十二个数列出来。题干长，第一步却很朴素。

这次继续写 DeepSeek，主要想看同一个工具换了题型会有什么表现。豆包也有学习辅助功能。如果你平时用豆包，文中的题面和追问同样可以拿去试。

解出题目、讲得让人听懂、能指出自己的错误，需要分别检验。第 19 题已经提醒过我们，答案写得长不等于证明可靠。这篇会先如实交代 DeepSeek 的两轮回答，再用纸笔把答案核一遍。第二轮我专门追问了“这六组到底怎么找”，想看它能否把过程讲明白。

前五行塔数依次是 1、3、3、5、5。后七行从 7 开始，每行比前一行多 2。因此，十二个数是

1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19

把它们加起来，得到 108。这里的 108 同时是塔的总数，也是接下来六组两数之和的总数。列到这里，山上的塔暂时可以放在一边，我们手里只有一件事：把这十二个数分成六对，每个数只能用一次。

假设配好后的六个和从小到大是

s，s＋d，s＋2d，s＋3d，s＋4d，s＋5d

题目说 d＞0，给出的四个选项分别是 2、4、6、8。哪一个真的能配出来？

读题时最容易漏掉“每个数用一次”。只算出一个好看的等差数列还不够；六对数必须把原来的十二个数恰好用完。有两个 3、两个 5，也要当成四个不同的位置来用，不能看见数字相同就少算一项。

我把题面完整打成文字发给 DeepSeek，要求它独立解答、给出推理过程和具体分组，并检查十二个数是否各用一次。这样提问，是想同时看答案和证明。只选出 B，还不足以说明六组数真的能配好。

它先列出 1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19，核对总和为 108。接着把六个配对和设为 x，x＋d，…，x＋5d，算出 2x＋5d＝36。这些都对。

然后它逐个检验四个选项。d＝2 时，x＝13，奇数无法由两项奇数相加得到；d＝6 时，x＝3，连最小配对和 4 都达不到；d＝8 时，x＝－2，也不可能。剩下 d＝4，它给出的目标和是 8、12、16、20、24、28。

最后它列出了六组实际配对，3＋5＝8、1＋11＝12、3＋13＝16、5＋15＝20、7＋17＝24、9＋19＝28。虽然排列顺序与原来的十二行不同，但每个数确实只用了一次，两个 3、两个 5 也分别用到了。

这轮回答的结论、排除过程和具体构造都成立。值得说清的是，它做的是一道选择题的完整解答；仅凭这一轮，还看不出它能否把配对的寻找过程讲给基础一般的学生听。

现在回到纸笔。六个配对和的总数是 108，所以

6s＋15d＝108

两边除以 3，得到

2s＋5d＝36

十二个原数全是奇数。两个奇数相加一定是偶数，所以六个配对和都必须是偶数，排在最前面的 s 也必须是偶数。这个简单的奇偶性判断，比盲目试几十种配法更快。

若 d＝2，代入得到 2s＋10＝36，s＝13。13 是奇数，不能由两个奇数相加得到，排除。

若 d＝6，代入得到 2s＋30＝36，s＝3。3 也是奇数，排除。况且十二个数里最小的两个是 1 和 3，任意一对的和至少是 4，首项 3 连大小范围都过不了。

若 d＝8，代入得到 2s＋40＝36，s＝－2。两座塔的数量相加不可能是负数，也排除。

四个选项只剩 d＝4。代入后 s＝8，对应的六个和应为

8，12，16，20，24，28

到这里还没结束。刚才只检查了总和、奇偶性和范围，它们都是必须满足的条件。现在需要一份真的配对。

一种分法是：

1＋7＝8

3＋9＝12

3＋13＝16

5＋15＝20

5＋19＝24

11＋17＝28

从上往下看，六个结果确实每次加 4。再把等号左边重新读一遍，1 用了一次，两个 3 各用一次，两个 5 各用一次，7、9、11、13、15、17、19 也各出现一次。十二个数没有遗漏，也没有重复使用。

所以答案是 B，公差为 4。

这道题的解题路线可以记成一句普通话：先算总数，再看奇偶和范围，最后实际配一遍。它比“我猜 B，再找一组数字凑上”稳得多。考试时，即便构造过程一开始卡住，总数方程也能帮你迅速缩小范围。

有人看到这里可能会问，六对数是怎么找到的？这部分值得多说几句。前面的方程已经把目标固定成 8、12、16、20、24、28。最小的和 8 比较好找，可以用 1＋7，也可以用 3＋5。最大的和 28 有 9＋19、11＋17、13＋15 等选择。只凭这两端，尚不能确定哪一种能把中间四组一并凑齐。

我的做法是从 28 先试。若选 11＋17，剩下的 19 要放进哪组？19＋5＝24，刚好用掉一个 5。再看 8，取 1＋7。这样 12 可以取 3＋9，16 可以取另一个 3＋13，20 则由剩下的 5＋15 完成。走完后再回头数一遍，所有数字都用了，构造就闭合了。

这里也没有神秘的配对口诀。先定下目标和，再从选择较少的两端试起；遇到某个数字无处可去就退回上一组，换一种配法。六组规模很小，纸上试几次足够。我这组六对与 DeepSeek 第一轮给出的不同，但都把十二个数用完了，六个和也依次相差 4，因此都是有效解。

第一轮答案完整，我又让 DeepSeek 把配对过程讲细一点。它这次先定下六个目标和：8、12、16、20、24、28，然后从两头开始试。这一段比直接列六个等式更适合学习，因为配对时卡住是很正常的。

它先取 28＝9＋19，同时取 8＝1＋7。这两对各自都对，合在一起却走不通。划掉 9、19、1、7 后，只剩 3，3，5，5，11，13，15，17。接下来必须凑出 12；能凑 12 的组合原本有 1＋11、3＋9、5＋7，可是 1、9、7 刚刚都用掉了。此时无需把所有剩余数字再试一遍，这条路已经死了。

它保留 28＝9＋19，只把最小和 8 改成 3＋5。剩下的数变成 1，3，5，7，11，13，15，17。现在 12＝1＋11，再取 16＝3＋13、20＝5＋15，最后剩下 7 和 17，恰好 24＝7＋17。六个目标都凑齐，十二个数也全部用完。

注意这次“失败”发生在哪里：9＋19 和 1＋7 单独看都没有错，问题是把两对同时选定后，后面的 12 无法完成。做配对题时，别急着否定总和方程，也不必整张纸推倒重来；退回一个选择，检查最难凑的目标和即可。DeepSeek 第二轮把这个退回过程写出来，确实比第一轮直接展示成品更容易跟上。

它还特意补了一句：排除公差 2、6、8，只能说明 4 是剩下的候选；拿出六组实际配对，才证明 4 可行。这个区分很重要。做选择题时，看见只剩一个选项容易收笔，但“总和对得上”并不保证“原数真能配出来”。

面对这次真实回答，我依次查了四处。

第一，十二个原数是否抄对。前面有两个 3 和两个 5，后面按 2 递增，一共十二项。

第二，六个和的总数是否仍是 108。每个原数只用一次，配对不会改变总和。

第三，它有没有把“排除其他选项”误当成“证明 B 一定能配出”。前者只能得到候选，后者需要六组实际配对。这次它补上了构造。

第四，配对里有没有悄悄把某个数用了两次。我把它写出的六对拆开，按原来的十二项逐个划掉，没有发现重复或遗漏。

这些检查不依赖 DeepSeek 的语气和排版。它答得再流畅，漏掉一项就是漏掉一项。上一篇第 19 题里，我们已经见过一个看似完整、关键处却有漏洞的证明。这次第 7 题，两轮回答都经受住了检查。第二轮还讲清了为什么第一次试配走不通、怎样改选 3＋5。这比背下最终六组数字更有用，换一道题也能照着试。

第二轮我还给 DeepSeek 一道缩小版练习，让它找出所有可能的公差并列出配对。它算出的两个值和具体分组都正确。下面把这道练习按学生动笔的顺序拆开。把 1，3，3，5，5，7 分成三对，每对两个数，要求三个配对和从小到大组成公差为正数 d 的等差数列。d 可以取哪些值？请先独立试一试，再往下看。

六个数的总和是 24。设三个配对和为 t，t＋d，t＋2d，则

3t＋3d＝24，也就是 t＋d＝8。

每个原数都是奇数，所以三个和都是偶数。相邻两个偶数的差仍是偶数，因此 d 必须是正偶数。

最小的两个原数为 1 和 3，任何配对和至少是 4；最大的两个为 5 和 7，任何配对和最多是 12。首尾两项相差 2d，不能超过 12－4＝8，所以 d≤4。正偶数里只剩 2 和 4。

d＝2 时，t＝6，三个和是 6、8、10。可以配成 1＋5＝6、3＋5＝8、3＋7＝10。六个数刚好用完。

d＝4 时，t＝4，三个和是 4、8、12。可以配成 1＋3＝4、3＋5＝8、5＋7＝12，同样全部用完。

因此这道练习有两个答案，d＝2 或 d＝4。它与高考原题的区别就在这里：原题是选择题，四个候选值里只有一个能成立；如果题目直接问“所有可能的 d”，你必须把每个可能值都找到并构造出来。

下面这道八个数的延伸练习由本文另拟，再试试能否独立走完全程。现在给出 1，3，3，5，5，7，9，11，分成四对。四个配对和要组成公差为正数 d 的等差数列。问 d 有哪些可能？这次先别向 DeepSeek 索取结论。你可以只让它检查自己列的方程，然后继续往下做。

八个数相加得 44。设四个和为 u，u＋d，u＋2d，u＋3d，于是 4u＋6d＝44，约去 2 后是 2u＋3d＝22。每个和都是偶数，所以 u 和 d 都是偶数。把 d 写成 2k，方程变为 u＝11－3k。u 是偶数，这要求 k 是奇数。

还要看大小。任何一对至少是 1＋3＝4，所以 u≥4。代入 u＝11－3k，得到 k≤2。k 是正奇数且不超过 2，只能是 1。因此 d＝2，u＝8，四个目标和为 8、10、12、14。

最后构造：1＋7＝8、5＋5＝10、3＋9＝12、3＋11＝14。八个数正好各用一次，d＝2 的确能实现。

这一题比前一道练习多了一个小弯：奇偶性先告诉我们 d 是偶数，再结合方程发现 d 的一半还必须是奇数。没有最后的配对，这个结论依然只是候选。把两道练习连着做，原题里“筛选”和“构造”各负责什么，会更清楚。

再做一道找错题。有人把原题的六个和写成 13，15，17，19，21，23。它们总和为 108，公差也是 2，于是断言 d＝2 可行。你能指出问题吗？

问题出在每个配对和的奇偶性。原来的十二个数都是奇数，两数之和必为偶数。13、15、17、19、21、23 全是奇数，一个都不可能是配对和。总和算对了，只代表过了第一道检查；配对问题还得回到原数本身。

碰到 DeepSeek 或任何解题软件给出类似的漂亮数字列，你就照这个办法追问：六个和分别由哪两个原数组成？十二个数是否各用一次？能不能把其他候选排除？这比单纯让它“重新想一遍”更容易查到错处。

今天这道题，答案只占一个字母，真正能带走的是一套顺序。读题后先列清数据；自己写总和方程；再用奇偶、范围筛选；最后用具体分组完成证明。把这几步交替拿给 DeepSeek 核对，你是在借它检查自己的思路，也更容易发现它的失误。

参考资料：教育部教育考试院《2026 年高考数学全国卷试题评析》；2026 年新高考Ⅰ卷数学第 7 题试卷文本。练习题由本文另拟，解答已逐项核对。