【2026北京中考数学】第26题,二次函数参数取值问题,简析

四季读书网 2026-09-18 02:24:41 9 0

今天记录对2026年北京中考数学第26题，二次函数参数取值问题的简单分析。

试题如下：

先看第一问，求系数b和c，二次函数的题，大部分都是通过题目给出的信息，使用待定系数法求解。

解答过程如下：

对于数学题尤其是考试题来说，如果有两个小问，一般第二问难得多，如果有三个小问，则是最后一问最难，这算是常识。

对于第二问，我们边读题边看能得出什么：

已知M是抛物线C₁上的点，M的横坐标为t，

通过第一问，我们已经求出了抛物线C₁的表达式，可以看到它带有参数a，我们设点M(t,y₁)为M的坐标，点M在抛物线C₁上，满足C₁的表达式，于是y₁可以表示为：

抛物线C₂的顶点为M，且可以由C₁平移得到（特别地，当M是C₁的顶点时，C₂即为C₁）．

上一步，我们将点M(t,y₁)表示出来了，这里可以看到，点M又是抛物线C₂的顶点，且抛物线C₂可以由C₁平移得到，将一个已知的抛物线移动到另一个地方，会发生怎样的变化呢？我们如何确定移动后的抛物线表达式呢？这里留待以后解决，先跳过。假设我们知道该怎么办，我们会得到：

这样，抛物线C₂也表示出来了。到这里的完整过程如下：

继续往下看。

若无论t为何值，抛物线C₂都不经过点O，求 a 的取值范围．

O点是哪个点？原点O(0,0)，抛物线C₂都不经过点O(0,0)，说明什么呢？这里就存在一个数学语言的翻译转换的问题，通俗讲就是“说人话”（更多“说人话”留待以后解决，先跳过）。

我们先“逆反”一下，家长和老师一般不喜欢有逆反心理的学生，但是青春期的孩子嘛，难免会有逆反心理，此逆反非彼逆反，做数学题时，有时候“逆反”反而是做题成功的关键。

如果“逆反”呢？我们让抛物线C₂就过原点O(0,0)看看：原点O(0,0)在抛物线C₂上，满足表达式：

于是，我们可以这样改编提问：若存在实数t使得抛物线C₂过原点O，求a的取值范围。这样提问，翻译过来“说人话”的话，等价于①式这个关于t的二次方程，存在实数根，利用判别式≥0可以求出a的范围。

扯远了，拉回来，原题要求抛物线C₂都不经过点O，能不能翻译成抛物线C₂上的点，当x=0时，y永远不等于0呢？然后进一步翻译为抛物线C₂上的点，当x=0时，y=0所对应的式子，恒不成立，也就是上面①式这个关于t的二次方程，没有实数根。

解答的过程如下：

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