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今天分享的是1996年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。
unsetunset第1题unsetunset
设 ，则 ?
型套路题。
unsetunset第2题unsetunset
设一平面经过原点及点 ，且与平面 垂直，则此平面方程为 ?
叉乘求出法向量，结合所过定点即可。
unsetunset第3题unsetunset
微分方程 的通解为 ?
基础题。
unsetunset第4题unsetunset
函数 在点 处沿点 指向点 方向的方向导数为 ?
方向向量单位化得到方向余弦，然后求出梯度即可得到方向导数。
unsetunset第5题unsetunset
设 是 矩阵，且 的秩 ，而 ，则 ?
考察结论：当 可逆时，有 。
unsetunset第6题unsetunset
已知 为某函数的全微分，则 等于 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
由于是全微分，因此满足恰当条件，解得 。
unsetunset第7题unsetunset
设 有二阶连续导数，且 ，，则 ?
(A) 是 的极大值
(B) 是 的极小值
(C) 是曲线 的拐点
(D) 不是 的极值， 也不是曲线 的拐点
根据极限的保号性可以得到在0的某去心邻域内， 的二阶导大于0，那么结合泰勒展开即可得到在此邻域内，有 ，满足极小值的定义。选 B。
unsetunset第8题unsetunset
设 ，且 收敛，常数 ，则级数 ?
(A) 绝对收敛
(B) 条件收敛
(C) 发散
(D) 收敛性与 有关
运用等价无穷小可知原正项级数收敛，再根据：若正项级数收敛，则其子列也收敛，即可得到答案，选A。
unsetunset第9题unsetunset
设 有连续导数，，，且当 时， 与 是同阶无穷小，则 等于 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
先根据变限积分求导求出 的表达式，然后待定系数反复使用洛必达法则或者利用导数定义，最终求出 。
unsetunset第10题unsetunset
阶行列式 的值等于 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
通过交换行、列得到一个分块对角形行列式，套用 展开结论即可。当然一上来就直接 展开也是可以的。
unsetunset第11题unsetunset
求心形线 的全长，其中 是常数。
定积分的几何应用。根据对称性缩小积分区间从而去掉绝对值。
我在1993年数一第7题的讲解中列了一个表格总结了不同坐标系下的几何元素积分公式，忘记的朋友可以回顾一下。
unsetunset第12题unsetunset
设 ，试证数列 极限存在，并求此极限。
单调有界准则模板题目。
当然这种类型的题目做法很多。我上面的做法采用的是先证明单调然后说明有界。当然先证明有界再说明单调也是可以的。
一般做题首选作差结合归纳的方法证明单调性，如果这种方法比较困难的话，我们还可以通过构造函数并求导来判断数列的单调性。
如果遇到不单调的数列，常用的方法是使用压缩映像原理，如果考试遇到，需要给出严格证明，不可贸然直接使用。一般通过正项级数的比较判别法或者拉格朗日中值定理对两种形式给出证明。
另外两种不太常用的方法就是柯西收敛准则和不动点原理，这里就不展开了。
unsetunset第13题unsetunset
计算曲面积分 ，其中 为有向曲面 ，其法向量与 轴正向的夹角为锐角。
补面法 + 公式。需要注意题目给的曲面方向是负向，所以使用高斯公式后千万不要漏掉负号了！对于三重积分部分，使用截面法最为简洁。
unsetunset第14题unsetunset
设变换 可把方程 化简为 ，求常数 ，其中 有二阶连续的偏导数。
简单计算题。
unsetunset第15题unsetunset
求级数 的和。
构造幂级数。裂项后发现是由两个 的泰勒级数凑成的，其中一个缺两项。注意收敛域即可。
像这种非常简单的题目一眼就看出来可以通过 级数配凑，就没必要浪费时间逐项求导或者逐项积分了。
unsetunset第16题unsetunset
设对任意的 ，曲线 上点 处的切线在 轴上的截距等于 ，求 的一般表达式。
根据截距关系得到一个二阶其次微分方程，并且是全微分形式，所以直接两次积分即可。
unsetunset第17题unsetunset
设 在 上具有二阶导数，且满足条件：，其中 都是非负常数， 为 内任意一点。
(1) 写出 在点 处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式；
(2) 证明：。
看到题目中出现 ，不管三七二十一，先用泰勒展开再说，注意根据题目条件和结论选择展开点和被展开点，通过两个式子的线性组合消去冗余项再用绝对值三角不等式放缩即可，这是基础处理方法！
unsetunset第18题unsetunset
设 ，其中 是 阶单位矩阵， 是 维非零列向量， 是 的转置，证明：
(1) 的充分必要条件是 ；
(2) 当 时， 是不可逆矩阵。
第一问，代入题干等式化简 ，从而得到 ，从而得证。
第二问，最简单的方法是使用反证法，通过 可逆推出矛盾。一行结束战斗！
当然，如果大家记得我之前讲过的幂等矩阵和秩有关的一个充要条件，还有更简单的思考角度：
如果忘记这个充要条件的可以回顾一下，文章我放在下面：
unsetunset第19题unsetunset
已知二次型 的秩为 .
(1) 求参数 的值及此二次型对应矩阵的特征值；
(2) 指出方程 表示何种二次曲面。
二次型对应矩阵不满秩，因此行列式为0，从而得到参数 的值。接下来就是按照套路求出特征值。
至于第二问，直接根据第一问求出来的特征值将题干二次型化成标准型后判断二次曲面类型即可。
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设工厂 和工厂 的产品的次品率分别为 和 ，现从由 厂和 厂的产品分别占 和 的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于 厂生产的概率为 ?
贝叶斯公式。
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设 是两个相互独立且均服从正态分布 的随机变量，则随机变量 的数学期望 ?
易知 ，因此可得 的概率密度函数，再根据定义求期望即可。
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设 是相互独立且都服从同一分布的两个随机变量，且 的分布律为 ，又设 .
(1) 写出二维随机变量 的分布律:
(2) 求随机变量 的数学期望 .
送分题。
以上就是对于1996年数一真题的全部解答，整体比较套路，第10题这种行列式是数一真题中第一次出现，14题展开了讲也是有巧算技巧的，但是本题计算量很小，正常做就行。对于中值定理大题，考察Taylor公式的基本运用，第一问非常良心的给出了展开点的相关信息，难度并不大。
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