中考大题每日压轴题精讲题型函数与面积最值问题

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函数与面积最值问题

例1】．如图，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4，3)．

(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；

(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；

(3)若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可．

(2)如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P(m，﹣m²+m+3)，则K(m，m+1)．因为S_△PAD＝•(x_D﹣x_A)•PK＝3PK，所以PK的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PK的最大值即可．

(3)如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T(﹣5，6)，设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，作点T关于AD的对称点T′(1，﹣6)，设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题．

【解析】(1)∵抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)、B(6，0)两点，

∴设抛物线的解析式为y＝a(x+2)(x﹣6)，

∵D(4，3)在抛物线上，

∴3＝a(4+2)×(4﹣6)，

解得a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝﹣(x+2)(x﹣6)＝﹣x²+x+3，

∵直线l经过A(﹣2，0)、D(4，3)，

设直线l的解析式为y＝kx+m(k≠0)，

则，

解得，，

∴直线l的解析式为y＝x+1；

(2)如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P(m，﹣m²+m+3)，则K(m，m+1)．

∵S_△PAD＝•(x_D﹣x_A)•PK＝3PK，

∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大，

∵PK＝﹣m²+m+3﹣m﹣1＝﹣m²+m+2＝﹣(m﹣1)²+，

∵﹣＜0，

∴m＝1时，PK的值最大，最大值为，此时△PAD的面积的最大值为，P(1，)．

(3)如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T(﹣5，6)，

设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，

∵D(4，3)，

∴直线DT的解析式为y＝﹣x+，

∴Q(0，)，

作点T关于AD的对称点T′(1，﹣6)，

则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，

设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，

∴Q′(0，﹣9)，

综上所述，满足条件的点Q的坐标为(0，)或(0，﹣9)．

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