1 一、选择题
1.
若函数
在 处连续，则（ ）
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： A
知识点：
- 分段函数在分界点处的连续性
- 等价无穷小与极限计算
解析：
由连续性的定义，函数在 处连续需满足
当 时，，故左极限和函数值均为 。又因为
所以
因此
故选 A。
2.
设二阶可导函数 满足
则（ ）
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： B
知识点：
- 二阶导数与函数的凸性
- 凸函数的弦线性质
- 定积分的比较
解析：
由 ，知 在 上为严格凸函数，因此函数图像在任意两点连线的下方。
在区间 上，连接 与 的弦为
且对 有 。于是
同理，在区间 上，对应的弦为
从而
两式相加得
故选 B。
3.
设数列 收敛，则（ ）
- A. 当 时，
- B. 当 时，
- C. 当 时，
- D. 当 时，
答案： D
知识点：
- 收敛数列的极限运算法则
- 连续函数保持极限
- 反例法与函数单调性
解析：
设
由于题中各函数均连续，可将数列极限代入相应函数。
- A 中取 ，则 ，但 。
- B 中取 ，则 ，但 。
- C 中取 ，则 ，但 。
对 D，令
有
并且对任意 ，
故 严格单调递增。又 ，所以方程 只有唯一解 。
由 及 ，得
从而 。故选 D。
4.
微分方程 的特解可设为（ ）
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： C
知识点：
- 二阶常系数线性非齐次微分方程
- 待定系数法
- 特征根与共振
解析：
对应的齐次方程的特征方程为
非齐次项为
特征根为
对于非齐次项 ，实数 不是特征根，因此对应的特解可设为
对于非齐次项 ，复数 是特征方程的一重根，发生一次共振，故原待定形式需乘以 ：
因此可设
故选 C。
5.
设 具有一阶偏导数，且对任意 ，都有
则（ ）
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： D
知识点：
- 偏导数符号与多元函数的单调性
- 一元函数中值定理的应用
解析：
固定 ，由 ，知 关于 严格单调递增；固定 ，由 ，知 关于 严格单调递减。
先固定 ，比较 与 ：
再固定 。由于函数关于 严格单调递减，且 ，故
所以
即
故选 D。
6.
甲、乙两人赛跑。计时开始时，甲在乙前方 处。图中实线表示甲的速度曲线 ，虚线表示乙的速度曲线 。三块阴影部分面积的数值依次为 。计时开始后乙追上甲的时刻记为 ，则（ ）
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： B
知识点：
- 速度、位移与定积分
- 相对运动
- 定积分的几何意义与连续性
解析：
设乙相对于甲的累计位移为
计时开始时甲领先乙 ，因此乙第一次追上甲的条件为
根据原题图中三块阴影面积的有向累积关系，可得
由于 连续，由介值定理知，存在
使得 。故选 B。
7.
设 为三阶矩阵， 为可逆矩阵，且
则 （ ）
- A.
- B.
- C.
- D.
答案： B
知识点：
- 相似变换
- 矩阵乘法与列向量
- 特征向量关系
解析：
题中相似变换右端按题意应理解为三阶对角矩阵
由
可得
由于
故
利用线性性，
故选 B。
8.
设矩阵
则（ ）
- A. 与 相似， 与 相似
- B. 与 相似， 与 不相似
- C. 与 不相似， 与 相似
- D. 与 不相似， 与 不相似
答案： B
知识点：
- 矩阵相似的判定
- 特征值与特征子空间
- 矩阵的可对角化
解析：
三个矩阵的特征值均为
对 ，有
特征值 有两个线性无关的特征向量，再加上特征值 的一个特征向量， 共有三个线性无关的特征向量，因而可对角化。于是
对 ，有
特征值 的几何重数小于其代数重数 ，因此 不可对角化。由于 为对角矩阵，可以对角化，而相似矩阵的可对角化性相同，所以
故选 B。
2 二、填空题
9.
曲线
的斜渐近线方程为 ______
答案：
知识点：
- 斜渐近线
- 无穷远处的极限
- 等价无穷小
解析：
设斜渐近线为
首先计算斜率：
再计算截距。由 ，得
因此曲线在 和 时具有同一条斜渐近线
10.
设函数 由参数方程
确定，则
答案：
知识点：
- 参数方程的一阶、二阶导数
- 复合函数求导
解析：
由参数方程求导公式，
再对 求导，并除以 ：
代入 ，得
11.
答案：
知识点：
- 反常积分
- 分部积分法
- 无穷远处极限
解析：
令
则原积分化为
对任意 ，分部积分得
由于
所以
12.
设函数 具有一阶连续偏导数，且
则 ______
答案：
知识点：
- 全微分
- 由偏导数恢复原函数
- 初始条件确定常数
解析：
由全微分的定义，
对 关于 积分，得
对上式关于 求偏导：
与题设比较可得
故 。再由 ，得 。
因此
13.
答案：
知识点：
- 二重积分交换积分次序
- 积分区域的描述
- 基本积分公式
解析：
积分区域为
交换积分次序后，
于是
由于 ，故 。
14.
设矩阵
的一个特征向量为
则 ______
答案：
知识点：
- 特征值与特征向量的定义
- 矩阵与向量的乘法
解析：
设给定特征向量为
由特征向量的定义，存在特征值 ，使
计算得
由第一、第三个分量均得 ，再由第二个分量得
因此
3 三、解答题
15.
求极限
知识点：
- 含参积分的极限
- 积分变量代换
- 连续函数的积分极限
解析：
令
由于 ，有 ，从而
因此原极限为
被积函数在 上一致趋于 ，故
16.
设函数 具有二阶连续偏导数，
求
知识点：
- 多元复合函数求导
- 链式法则
- 二阶导数
解析：
记 的各偏导数均在点
处取值。由链式法则，
因此
再次求导：
代入 ，此时 ，得到
所以
以及
17.
求
知识点：
- 定积分的定义
- 黎曼和
- 分部积分法
解析：
令
则
这是函数 在 上的右端点黎曼和，因此
分部积分得
18.
已知函数 由方程
确定，求 的极值。
知识点：
- 隐函数求导
- 隐函数存在定理
- 函数极值的判定
解析：
令
由于
故方程在其解曲线上可确定可导函数 。
对原方程两边关于 求导：
整理得
由于分母恒正，极值点必须满足
即 。
当 时，原方程化为
其唯一实根为 。
当 时，原方程化为
其唯一实根为 。
又因为 的符号与 相同，所以：
- 在 处， 由负变正，故取得极小值；
- 在 处， 由正变负，故取得极大值。
因此极小值为
极大值为
19.
设函数 在区间 上具有二阶导数，且
证明：
（1）方程 在区间 内至少存在一个实根；
（2）方程
在区间 内至少存在两个不同实根。
知识点：
- 函数极限与连续性
- 零点定理
- 罗尔定理
- 辅助函数法
解析：
设
这里的极限为有限值。由于 在 上具有二阶导数，故 在 处连续。于是
（1）
由 ，存在充分小的 ，使
由于 ，故 。又 ，由连续函数的零点定理，存在
使得
因此方程 在 内至少有一个实根。
（2）
由
在区间 上应用罗尔定理，存在
使得
令
则
分别在区间 和 上对 应用罗尔定理，存在
使得
两点显然不同。又
所以方程
在 内至少存在两个不同实根。
20.
已知平面区域
计算二重积分
知识点：
- 二重积分的对称性
- 极坐标变换
- 平面区域的面积
解析：
区域可改写为
即圆心为 、半径为 的圆盘。该区域关于 轴对称。
展开被积函数：
由对称性，
因此
在以原点为极点的极坐标中，区域表示为
于是
圆盘面积为
故原积分为
21.
设 是区间 内的可导函数，且 。点 是曲线 上任意一点， 在点 处的切线与 轴相交于点 ，法线与 轴相交于点 。若 ，求 上点的坐标 满足的方程。
知识点：
- 切线与法线
- 一阶齐次微分方程
- 变量代换与初始条件
解析：
设曲线上任意一点为
切线方程为
令 ，得到切线在 轴上的截距
法线斜率为 。令法线方程中的 ，可得其在 轴上的截距
条件 给出
即
由于 ，令
代入微分方程：
整理得
分离变量并积分：
从而
由 ，得 ，故 。代回 ：
由于 ，整理得
22.
设 阶矩阵
有 个不同的特征值，且
（1）证明：；
（2）若
求方程组 的通解。
知识点：
- 矩阵的秩与零空间
- 特征值
- 非齐次线性方程组的通解
解析：
（1）
由
可得
因此 的列向量线性相关，从而
故 是 的特征值。又因为 有三个不同的特征值，所以 的代数重数为 ，其对应特征子空间的维数也为 。于是
由秩—零度定理，
（2）
由列向量关系，
结合 ，齐次方程 的基础解系可取为
另一方面，
所以非齐次方程的一个特解为
因此通解为
23.
设二次型
在正交变换 下的标准型为
求 的值及一个正交矩阵 。
知识点：
- 二次型与对称矩阵
- 正交变换化标准形
- 特征值与正交特征向量
解析：
二次型对应的实对称矩阵为
标准形中只有两个非零平方项，因此
特别地，
计算行列式：
故
当 时，
并且二阶子式
故此时确有 。
矩阵 的三个特征值为
可分别取对应特征向量
它们两两正交。单位化后令
即
则 为正交矩阵，且
因此一个所求正交矩阵为上述 ，相应标准形为